Trong toán học , định lý Viète hay công thức Viète (có khi viết theo phiên âm tiếng Việt là Vi-ét ), do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức ) và các hệ số của nó.
[ sửa ] Trong trường hợp phương trình bậc hai, công thức Viète được ghi như sau:
Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
a
≠
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,a\neq 0}
thì
{
x
1
x
2
=
c
/
a
x
1
+
x
2
=
−
b
/
a
{\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}x_{2}=c/a}\\{x_{1}+x_{2}=-b/a}\\\end{cases}}}
[ sửa ] Cho phương trình:
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
x
n
=
0
,
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0,\,a_{n}\neq 0}
Cho x1 , x2 , ..., xn là n nghiệm của phương trình trên, thì:
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
x
n
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
.
.
.
(
x
−
x
n
)
{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})\,}
Nhân toàn bộ vế phải ra, chúng ta sẽ có công thức Viète, được phát biểu như sau:
{
a
=
a
n
−
a
(
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
n
)
=
a
n
−
1
…
…
(
−
1
)
n
−
1
a
(
x
1
x
2
.
.
.
x
n
−
1
+
x
1
x
2
.
.
.
x
n
−
2
x
n
+
.
.
.
+
x
2
x
3
.
.
.
x
n
)
=
a
1
(
−
1
)
n
a
(
x
1
x
2
.
.
.
x
n
)
=
a
0
{\displaystyle {\begin{cases}{a=a_{n}}\\{-a(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})=a_{n-1}}\\{\ldots }\\{\ldots }\\{(-1)^{n-1}a(x_{1}x_{2}...x_{n-1}+x_{1}x_{2}...x_{n-2}x_{n}+...+x_{2}x_{3}...x_{n})=a_{1}}\\{(-1)^{n}a(x_{1}x_{2}...x_{n})=a_{0}}\\\end{cases}}}
và trong hàng k bất kỳ, vế phải của đẳng thức là
a
n
−
k
{\displaystyle a_{n-k}\,}
(
−
1
)
n
−
k
a
{\displaystyle (-1)^{n-k}a\,}
nhân với Tổng của: các tích từng cụm (n-k) các nghiệm của phương trình trên. Trường hợp phương trình bậc 2 là các công thức trên, với hai vế chia đều cho a = a2
[ sửa ] Nếu x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}
thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho a3 tức a , và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:
{
x
1
+
x
2
+
x
3
=
−
b
/
a
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
x
3
=
c
/
a
x
1
x
2
x
3
=
−
d
/
a
{\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}+x_{2}+x_{3}=-b/a}\\{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=c/a}\\{x_{1}x_{2}x_{3}=-d/a}\\\end{cases}}}
[ sửa ] Nếu x1 , x2 , x3 , x4 là nghiệm của phương trình
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
d
x
+
e
=
0
{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}
thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho a4 tức a , và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:
{
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
−
b
/
a
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
1
x
4
+
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
x
3
x
4
=
c
/
a
x
1
x
2
x
3
+
x
1
x
2
x
4
+
x
1
x
3
x
4
+
x
2
x
3
x
4
=
−
d
/
a
x
1
x
2
x
3
x
4
=
e
/
a
{\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-b/a}\\{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=c/a}\\{x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-d/a}\\{x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=e/a}\\\end{cases}}}
Trong trường hợp phương trình bậc hai, định lý Viète thường được dùng để tính nhẩm nghiệm số nguyên (nếu có) của phương trình. Thí dụ: Có thể nhẩm tính phương trình x2 - 5x + 6 = 0 có hai nghiệm là 2 và 3 vì 2+3=5 và 2
.
{\displaystyle .\,}
Định lý Viète cho phương trình bậc 3 hay cao hơn thường ít thấy trong toán học nghiên cứu, nhưng ngược lại khá quen thuộc trong các kỳ thi Olympiad toán học. 
