Đại số/Nhóm

Một nhóm (group, Gruppe) là một tập hợp G với phép toán 2-ngôi * thỏa:

• G0: ∀a, b ∈ G: a*b ∈ G (tính chất bao đóng - closure - Abgeschlossenheit)
• G1: ∀a, b, c ∈ G: a*(b*c) = (a*b)*c (tính chất kết hợp - associativity - Assoziativitaet)
• G2: ∃e ∈ G ∀a ∈G: a*e = e*a = a (phần tử trung hòa - neutral element - Neutralelement)
• G3: ∀a ∈ G ∃a^-1 ∈ G: a*a^-1=a^-1*a=e (phần tử nghịch đảo - inverse - Inverse)

Nếu * thỏa thêm:

• G4: ∀a, b ∈ G: a*b = b*a (tính chất giao hoán, commutativity, Kommutativitaet)

thì ta nói G là một nhóm giao hoán (commutative group, kommutative Gruppe) hoặc G là một nhóm abel (abelian group, abelsche Gruppe).

Để rõ hơn đang nói về phép toán nào trên G, ta cũng viết nhóm (G,*) thay vì nhóm G.