Toán đại số dùng chữ cái a-z, A-Z đại diện cho các con số số học từ 0 đến 9. Thí dụ như A = 3 , B = 2 . Các chữ cái đại diện cho các con số số học được gọi là Biến số.
Số đại số và phép toán đại số [ sửa ] Số đại số được phân loai thành các loại số dưới đây
Loai số loại số Ký hiệu Thí dụ
Số tự nhiên
N
{\displaystyle N}
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
{\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Số chẳn
2
N
{\displaystyle 2N}
2
,
4
,
6
,
8
{\displaystyle 2,4,6,8}
Số lẻ
2
N
+
1
{\displaystyle 2N+1}
1
,
3
,
5
,
7
,
9
{\displaystyle 1,3,5,7,9}
Số nguyên tố
P
{\displaystyle P}
1
,
3
,
5
,
7
{\displaystyle 1,3,5,7}
Phân số
c
=
a
b
{\displaystyle c={\frac {a}{b}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
Số thập phân
a
=
0.
a
b
c
d
{\displaystyle a=0.abcd}
0.
a
b
c
d
{\displaystyle 0.abcd}
Số hửu tỉ
a
=
0.
a
a
a
a
a
a
{\displaystyle a=0.aaaaaa}
0.33333
{\displaystyle 0.33333}
Số vô tỉ
a
=
0.
a
b
c
d
e
f
{\displaystyle a=0.abcdef}
0.1345
{\displaystyle 0.1345}
Số nguyên
I
=
+
I
,
0
,
−
I
{\displaystyle I=+I,0,-I}
−
1
,
−
2
,
−
3
,
−
4
,
−
5
,
−
6
,
−
7
,
−
8
,
−
9
,
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
{\displaystyle -1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Số phức
Z
=
a
±
j
b
{\displaystyle Z=a\pm jb}
Z
=
2
±
j
3
{\displaystyle Z=2\pm j3}
Số thực
a
{\displaystyle a}
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
{\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Số ảo
j
=
−
1
{\displaystyle j={\sqrt {-1}}}
j
5
{\displaystyle j5}
Các phép toán đại số thực thi trên các số đại số bao gồm
Toán Ký Hiệu Công Thức Định Nghỉa
Toán cộng
+
{\displaystyle +}
A
+
B
{\displaystyle A+B}
Toán Cộng hai số đại số
Toán trừ
−
{\displaystyle -}
A
−
B
{\displaystyle A-B}
Toán Trừ hai số đại số
Toán nhân
x
{\displaystyle x}
A
×
B
{\displaystyle A\times B}
Toán Nhân hai số đại số
Toán chia
/
{\displaystyle /}
A
/
B
{\displaystyle A/B}
Toán Chia hai số đại số
Toán lũy thừa
a
n
{\displaystyle a^{n}}
a
n
=
a
×
a
×
a
.
.
.
{\displaystyle a^{n}=a\times a\times a...}
Toán tìm tích n lần của chính số nhân
Toán căn
{\displaystyle {\sqrt {}}}
a
=
b
{\displaystyle {\sqrt {a}}=b}
b
n
=
a
{\displaystyle b^{n}=a}
Toán lủy thừa nghịch
Toán log
L
o
g
,
L
n
{\displaystyle Log,Ln}
L
o
g
a
=
b
{\displaystyle Loga=b}
10
b
=
a
{\displaystyle 10^{b}=a}
Toán Toán lủy thừa nghịch của một lủy thừa
Mọi số đếm đều là số tự nhiên có ký hiệu
N
{\displaystyle N}
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
{\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Mọi số chẳn đều chia hết cho 2 không có số dư và có
Ký hiệu
2
N
{\displaystyle 2N}
Thí dụ
2
,
4
,
6
,
8
{\displaystyle 2,4,6,8}
Mọi số lẻ không chia hết cho 2 và có số dư bằng 1 và có
Ký hiệu
2
N
+
1
{\displaystyle 2N+1}
Thí dụ
1
,
3
,
5
,
7
,
9
{\displaystyle 1,3,5,7,9}
Mọi số nguyên tố đều chia hết cho 1 và cho chính nó và có
Ký hiệu
P
{\displaystyle P}
Thí dụ
1
,
3
,
5
,
7
{\displaystyle 1,3,5,7}
Ký hiệu [ sửa ]
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
Thí dụ [ sửa ]
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
Lối dùng phân số [ sửa ] Cho biết tỉ lệ của 2 đại lượng [ sửa ] Phân số đại diện cho một tỉ lệ của 2 đại lượng cho biết thành phần của một đại lượng so với một đại lượng khác
Thí dụ
1 phần 2 cái bánh được viết là
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
1 phần 3 cái bánh được viết là
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
1 phần n cái bánh được viết là
1
n
{\displaystyle {\frac {1}{n}}}
Khi so sánh 2 đại lượng đại số
a
b
=
1
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=1}
a
=
b
{\displaystyle a=b}
a
b
>
1
{\displaystyle {\frac {a}{b}}>1}
a
>
b
{\displaystyle a>b}
a
b
<
1
{\displaystyle {\frac {a}{b}}<1}
a
<
b
{\displaystyle a<b}
Biểu diển phép tóan chia [ sửa ]
a
b
=
a
/
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=a/b}
Khi chia hết, được một thương só và không có số dư
a
b
=
c
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=c}
a
c
=
b
{\displaystyle ac=b}
Khi không chia hết , được một thương só và có số dư
a
b
=
c
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=c}
a
c
+
r
=
b
{\displaystyle ac+r=b}
Số thập phân, số có dạng 0.abcd
1
2
=
0.5
{\displaystyle {\frac {1}{2}}=0.5}
1
4
=
0.25
{\displaystyle {\frac {1}{4}}=0.25}
1
8
=
0.125
{\displaystyle {\frac {1}{8}}=0.125}
Số hửu tỉ , số thập phân lặp lại
1
3
=
0.333333...
{\displaystyle {\frac {1}{3}}=0.333333...}
Số vô tỉ , số thập phân không lặp lại
π
=
3.1415...
{\displaystyle \pi =3.1415...}
Loại phân số [ sửa ] Hỗn số [ sửa ] Hổn số là một phân số có giá trị lớn hơn 1 .
Thí dụ
a
b
c
{\displaystyle a{\frac {b}{c}}}
Chuyển đổi Hỗn số sang phân số được thực hiện như sau
a
b
c
=
a
+
b
c
=
a
c
+
b
c
{\displaystyle a{\frac {b}{c}}=a+{\frac {b}{c}}={\frac {ac+b}{c}}}
Phân số tối giản [ sửa ] Phân số tối giản là phân số nhỏ nhứt không thể đơn giản nhỏ hơn được .
Thí dụ, phân số tối giản
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
2
4
{\displaystyle {\frac {2}{4}}}
5
10
{\displaystyle {\frac {5}{10}}}
Phép toán phân số [ sửa ]
a chia hết cho b khi
a
b
=
c
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=c}
a
=
b
c
{\displaystyle a=bc}
a không chia hết cho b khi
a
b
=
c
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=c}
a
=
b
c
+
r
{\displaystyle a=bc+r}
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
c
d
{\displaystyle {\frac {c}{d}}}
a
=
c
{\displaystyle a=c}
b
=
d
{\displaystyle b=d}
a
d
b
d
=
b
c
b
d
{\displaystyle {\frac {ad}{bd}}={\frac {bc}{bd}}}
a
d
=
b
c
{\displaystyle ad=bc}
a
b
>
c
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}>{\frac {c}{d}}}
a
b
<
c
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}
a
b
+
c
d
=
a
d
+
b
c
b
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}
a
b
−
c
d
=
a
d
−
b
c
b
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}}
a
b
×
c
d
=
a
c
b
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}
a
b
/
c
d
=
a
b
×
d
c
=
a
d
b
c
{\displaystyle {\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}}
Mọi số tự nhiên có giá trị bằng không được gọi là số nguyên không, lớn hơn không được gọi là số nguyên dương , nhỏ hơn không được gọi là số nguyên âm
Ký hiệu [ sửa ]
Số nguyên Số nguyên dương Số nguyên không Số nguyên âm
I
+I>0
I=0
-I <0
Thí dụ [ sửa ]
−
1
,
−
2
,
−
3
,
−
4
,
−
5
,
−
6
,
−
7
,
−
8
,
−
9
,
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
{\displaystyle -1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Phép toán số nguyên [ sửa ]
Toán cộng
0
+
±
a
=
±
a
{\displaystyle 0+\pm a=\pm a}
Toán trừ
0
−
±
a
=
∓
a
{\displaystyle 0-\pm a=\mp a}
Toán nhân
0
×
±
a
=
0
{\displaystyle 0\times \pm a=0}
toán chia
0
/
±
a
=
0
{\displaystyle 0/\pm a=0}
Số nguyên dương [ sửa ]
Toán cộng
a
+
a
=
2
a
{\displaystyle a+a=2a}
a
+
0
=
a
{\displaystyle a+0=a}
a
−
a
=
0
{\displaystyle a-a=0}
a
−
0
=
a
{\displaystyle a-0=a}
a
×
a
=
a
2
{\displaystyle a\times a=a^{2}}
a
×
1
=
a
{\displaystyle a\times 1=a}
a
×
0
=
0
{\displaystyle a\times 0=0}
a
/
a
=
1
{\displaystyle a/a=1}
a
/
1
=
a
{\displaystyle a/1=a}
a
/
0
=
00
{\displaystyle a/0=00}
a
0
=
1
{\displaystyle a^{0}=1}
a
n
=
a
×
a
×
a
.
.
.
{\displaystyle a^{n}=a\times a\times a...}
a
−
n
=
1
a
n
{\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}
a
1
n
=
n
a
{\displaystyle a^{\frac {1}{n}}=n{\sqrt {a}}}
n
a
=
a
1
n
{\displaystyle n{\sqrt {a}}=a^{\frac {1}{n}}}
0
=
E
r
r
o
r
{\displaystyle {\sqrt {0}}=Error}
1
=
1
{\displaystyle {\sqrt {1}}=1}
−
1
=
j
{\displaystyle {\sqrt {-1}}=j}
a
n
m
=
a
m
n
=
a
1
m
n
{\displaystyle {\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{mn}]{a}}=a^{\frac {1}{mn}}}
a
b
n
=
a
n
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}}
a
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}}
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{b}}}
a
a
=
a
2
×
a
=
a
3
{\displaystyle a{\sqrt {a}}={\sqrt {a^{2}\times a}}={\sqrt {a^{3}}}}
a
n
=
a
a
n
−
2
{\displaystyle {\sqrt {a^{n}}}=a{\sqrt {a^{n-2}}}}
L
o
g
10
n
=
n
{\displaystyle Log10^{n}=n}
log
b
(
a
c
)
=
log
b
(
a
)
+
log
b
(
c
)
{\displaystyle \log _{b}(ac)=\log _{b}(a)+\log _{b}(c)\ }
log
b
(
a
/
c
)
=
log
b
(
a
)
−
log
b
(
c
)
{\displaystyle \log _{b}(a/c)=\log _{b}(a)-\log _{b}(c)\ }
log
b
(
b
a
)
=
a
{\displaystyle \log _{b}(b^{a})=a\ }
log
b
(
a
)
=
log
d
(
a
)
log
d
(
b
)
{\displaystyle \log _{b}(a)={\frac {\log _{d}(a)}{\log _{d}(b)}}}
d
>
0
,
d
<>
1
{\displaystyle d>0,d<>1}
log
b
(
y
a
)
=
a
log
b
(
y
)
{\displaystyle \log _{b}(y^{a})=a\log _{b}(y)\ }
Số nguyên âm [ sửa ]
−
a
+
(
−
a
)
=
−
2
a
{\displaystyle -a+(-a)=-2a}
−
a
+
0
=
−
a
{\displaystyle -a+0=-a}
−
a
−
(
−
a
)
=
0
{\displaystyle -a-(-a)=0}
−
a
−
0
=
−
a
{\displaystyle -a-0=-a}
−
a
×
(
−
a
)
=
a
2
{\displaystyle -a\times (-a)=a^{2}}
−
a
×
1
=
−
a
{\displaystyle -a\times 1=-a}
−
a
×
0
=
0
{\displaystyle -a\times 0=0}
−
a
/
(
−
a
)
=
1
{\displaystyle -a/(-a)=1}
−
a
/
1
=
−
a
{\displaystyle -a/1=-a}
−
a
/
0
=
00
{\displaystyle -a/0=00}
(
−
a
)
0
=
1
{\displaystyle (-a)^{0}=1}
(
−
a
)
n
=
−
a
n
{\displaystyle (-a)^{n}=-a^{n}}
n
=
2
m
+
1
{\displaystyle n=2m+1}
(
−
a
)
n
=
a
n
{\displaystyle (-a)^{n}=a^{n}}
n
=
2
m
{\displaystyle n=2m}
−
a
=
±
j
a
{\displaystyle {\sqrt {-a}}=\pm j{\sqrt {a}}}
Số phức đại diện cho tổng hay hiệu của một số thực và một số ảo
Ký hiệu [ sửa ]
Z
=
a
+
j
b
{\displaystyle Z=a+jb}
Z
=
a
−
j
b
{\displaystyle Z=a-jb}
Ký hiệu tổng quát
Z
=
a
±
j
b
{\displaystyle Z=a\pm jb}
Thí dụ [ sửa ]
Z
=
2
±
j
3
{\displaystyle Z=2\pm j3}
Biểu diển số phức [ sửa ]
Số phức thuận
Z
=
(
a
+
i
b
)
{\displaystyle Z=(a+ib)}
Z
∠
θ
{\displaystyle Z\angle \theta }
Z
=
Z
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
{\displaystyle Z=Z(\cos \theta +i\sin \theta )}
Z
e
j
θ
{\displaystyle Ze^{j\theta }}
Số phức nghịch
Z
=
(
a
−
i
b
)
{\displaystyle Z=(a-ib)}
Z
∠
−
θ
{\displaystyle Z\angle -\theta }
Z
=
Z
(
cos
θ
−
i
sin
θ
)
{\displaystyle Z=Z(\cos \theta -i\sin \theta )}
Z
e
−
j
θ
{\displaystyle Ze^{-j\theta }}
Toán số phức [ sửa ]
+
2
a
{\displaystyle 2a}
Z
(
∠
θ
+
∠
−
θ
)
{\displaystyle Z(\angle \theta +\angle -\theta )}
2
Z
cos
θ
{\displaystyle 2Z\cos \theta }
Z
(
e
j
θ
+
e
−
j
θ
)
{\displaystyle Z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })}
-
i
2
b
{\displaystyle i2b}
Z
(
∠
θ
−
∠
−
θ
)
{\displaystyle Z(\angle \theta -\angle -\theta )}
i
2
Z
sin
θ
{\displaystyle i2Z\sin \theta }
Z
(
e
j
θ
−
e
−
j
θ
)
{\displaystyle Z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })}
x
a
2
−
b
2
{\displaystyle a^{2}-b^{2}}
Z
2
∠
0
{\displaystyle Z^{2}\angle 0}
Z
2
(
cos
2
θ
−
sin
2
θ
)
{\displaystyle Z^{2}(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )}
Z
2
e
{\displaystyle Z^{2}e}
/
a
2
−
b
2
a
−
i
b
{\displaystyle {\frac {a^{2}-b^{2}}{a-ib}}}
1
∠
2
θ
{\displaystyle 1\angle 2\theta }
cos
2
θ
−
sin
2
θ
(
cos
θ
−
i
sin
θ
)
{\displaystyle {\frac {\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta }{(\cos \theta -i\sin \theta )}}}
e
j
2
θ
{\displaystyle e^{j2\theta }}
(
)
n
{\displaystyle ()^{n}}
(
a
+
i
b
)
n
{\displaystyle (a+ib)^{n}}
Định luật De Moive
(
Z
∠
θ
)
n
=
Z
n
∠
n
θ
{\displaystyle (Z\angle \theta )^{n}=Z^{n}\angle n\theta }
[
e
j
θ
]
n
=
e
j
n
θ
{\displaystyle [e^{j\theta }]^{n}=e^{jn\theta }}
Ký hiệu [ sửa ]
±
j
b
{\displaystyle \pm jb}
Với
j
=
−
1
{\displaystyle j={\sqrt {-1}}}
Thí dụ [ sửa ]
±
5
j
{\displaystyle \pm 5j}
Toán số ảo [ sửa ]
a
{\displaystyle a}
![{\displaystyle {\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{mn}]{a}}=a^{\frac {1}{mn}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83064172516d2185efbd65172ed7cc9d3e701284)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372ddb7d13541806e35a6053ba614df98a87b655)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdd8f05f4d794abf4cccf685bf65c5f5776b98b)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7873203eb76042fcd24056c553de8c86054a2df)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a67075d2bf5949cd4927199b5ad24ee5d609b0)
![{\displaystyle [e^{j\theta }]^{n}=e^{jn\theta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e251745b13431190d80c666a245aacb8cb406db7)
