Sách đại số/Dải số/Tổng dải số/Tổng chuổi số Maclaurin

Danh sách các chuỗi Maclaurin cho một số hàm thường gặp

Bản mẫu:See also Sau đây là các khai triển chuỗi Maclaurin cho một số hàm thường gặp. Tất cả khai triển này đều đúng với Bản mẫu:Mvar phức.

Hàm mũ

Hàm mũ e^x (màu xanh), và tổng của n + 1 phần tử đầu tiên của chuỗi Taylor của nó tại 0 (màu đỏ).

Hàm mũ $e^{x}$ (với cơ số Bản mẫu:Mvar) có chuỗi Maclaurin

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$.

Nó hội tụ với mọi Bản mẫu:Mvar.

Hàm sinh mũ của các số Bell là hàm mũ của số trước đó của hàm mũ:

$\exp[\exp(x)-1]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}$

Lôgarit tự nhiên

Bản mẫu:Main Lôgarit tự nhiên (với cơ số Bản mẫu:Mvar) có chuỗi Maclaurin

${\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}$

Chúng hội tụ với $|x|<1$. (Thêm nữa, chuỗi cho ln(1 − x) hội tụ khi x = −1, và chuỗi cho ln(1 + x) hội tụ khi x = 1.)

Chuỗi hình học

Chuỗi hình học và các đạo hàm của nó có chuỗi Maclaurin như sau

${\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}$

Tất cả đều hội tụ cho $|x|<1$. Đây là các trường hợp đặc biệt cho chuỗi nhị thức trong mục sau.

Chuỗi nhị thức

Chuỗi nhị thức là chuỗi lũy thừa

$$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}$$

trong đó các hệ số là các hệ số nhị thức:

$${\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.$$

(Nếu n = 0, tích này thành tích rỗng và có giá trị 1.) Nó hội tụ cho $|x|<1$ với bất kỳ số thực hay phức Bản mẫu:Mvar.

Khi α = −1, chuỗi này trở thành chuỗi hình học trong mục trước. Trường hợp đặc biệt α = Bản mẫu:Sfrac và α = −Bản mẫu:Sfrac cho hàm căn bậc hai và nghịch đảo của nó:

$${\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8}}x^{2}+{\tfrac {1}{16}}x^{3}-{\tfrac {5}{128}}x^{4}+{\tfrac {7}{256}}x^{5}-\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}}x^{n},\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {3}{8}}x^{2}-{\tfrac {5}{16}}x^{3}+{\tfrac {35}{128}}x^{4}-{\tfrac {63}{256}}x^{5}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.\end{aligned}}$$

Khi chỉ có mỗi các phần tử tuyến tính được giữ lại, xấp xỉ này đơn giản hóa thành xấp xỉ nhị thức.

Các hàm lượng giác

Các hàm lượng giác thường gặp và nghịch đảo của chúng có chuỗi Maclaurin như sau:

${\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{với mọi }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{với mọi }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{với }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{với }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{với }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{với }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{với }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}$

Tất cả các góc đều trong radian. Các số B_k xuất hiện trong biểu thức tan x là các số Bernoulli. Các số E_k trong khai triển của sec x là các số Euler.

Các hàm Hyperbolic

Các hàm hyperbolic có chuỗi Maclaurin gần giống với các hàm lượng giác:

${\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{với mọi }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{với mọi }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{với }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{với }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots &&{\text{với }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}$

Các số B_k xuất hiện trong chuỗi cho tanh x là các số Bernoulli.

Hàm Polylogarit

Các hàm polylogarit có định thức sau:

${\text{Li}}_{2}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}x^{n}$

${\text{Li}}_{3}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}x^{n}$

Các hàm chi Legendre được định nghĩa như sau:

$\chi _{2}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}$

$\chi _{3}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}$

Các công thức bên dưới được gọi là nguyên hàm tiếp tuyến nghịch đảo:

${\text{Ti}}_{2}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}$

${\text{Ti}}_{3}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}$

Trong cơ học thống kê, các công thức này rất quan trọng.

Hàm Elliptic

Nguyên hàm Elliptic đầy đủ của loại đầu K và loại thứ hai E được định nghĩa như sau:

${\frac {2}{\pi }}K(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}$

${\frac {2}{\pi }}E(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{(1-2n)16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}$

Các hàm theta Jacobi mô tả thế giới của hàm môđun elliptic và chúng thường có chuỗi Taylor như sau :

$\vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}$

$\vartheta _{01}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}$

Dãy số phân hoạch P(n) có hàm sinh sau:

$\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{k}}}$

Dãy số phân hoạch nghiêm ngặt Q(n) có hàm sinh sau:

$\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}$