Sách toán kỹ sư/Số lũy thừa

Tủ sách mở Wikibooks

Lủy thừa của một số được định nghìa là tích của số đó nhân với chính nó n lần . Lủy thừa của một số có ký hiệu

Luật toán lũy thừa[sửa]

Lủy thừa không
Lủy thừa 1
Lủy thừa của số không
Lủy thừa của số 1
Lủy thừa trừ
Lủy thừa phân số
Lủy thừa của số nguyên âm


Với .
. Với

Lủy thừa của số nguyên dương
Lủy thừa của lủy thừa
Lủy thừa của tích hai số
Lủy thừa của thương hai số
Lủy thừa của căn
Cộng trừ nhân chia 2 lủy thừa






Lủy thừa của tổng hai số





Lủy thừa của hiệu hai số






Hiệu 2 lũy thừa
Tổng 2 lũy thừa

Lũy thừa với số mũ phức[sửa]

Lũy thừa số mũ phức của số e[sửa]

Dựa vào biểu diễn lượng giác của các số phức, người ta định nghĩa lũy thừa số mũ phức của số e như sau. Trước hết, lũy thừa với số mũ thuần ảo của e định nghĩa theo công thức Euler:

Sau đó với số phức , ta có

Lũy thừa số mũ phức của số thực dương[sửa]

Nếu a là một số thực dương và z là số phức thì lũy thừa az được định nghĩa là

trong đó x = ln(a) là nghiệm duy nhất của phương trình ex = a.

Nếu , ta có


Lũy thừa với số mũ thực[sửa]

Lũy thừa của số e[sửa]

Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được định nghĩa qua giới hạn sau:

Hàm e mũ, được định nghĩa bởi

ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa

Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của x.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là ek như sau:

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng ex+y thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi xy là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.

Lũy thừa với số mũ thực[sửa]

Vì mỗi số thực có thể được tiệm cận bởi các số hữu tỷ nên lũy thừa của với số mũ thực x có thể định nghĩa nhờ giới hạn[1]

trong đó r tiến tới x chỉ trên các giá trị hữu tỷ của r.

Chẳng hạn, nếu

thì

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên hàm ngược của hàm e-mũ ex. Theo đó là số b sao cho x = eb .

Nếu a là số thực dương, x là số thực bất kỳ ta có a = e ln a

nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có

Điều này dẫn tới định nghĩa

với mọi số thực x và số thực dương a.

Định nghĩa này của lũy thừa số mũ thực phù hợp với định nghĩa lũy thừa thực nhờ giới hạn ở trên và với cả lũy thừa với số mũ phức dưới đây.


Thí dụ[sửa]

  1. Trần Văn Hạo, tr. 55