Sách toán/Hệ phương trình đường thẳng

Hệ phương trình đường thẳng

Hệ phương trình đường thẳng co dạng tổng quát

$ax+by=c$

$dx+ey=f$

Giải hệ phương trình đường thẳng

Với hệ phương trình đường thẳng co dạng tổng quát

$ax+by=c$

$dx+ey=f$

Chia phương trình 1 cho a và phương trình 2 cho d, ta được

$x+{\frac {b}{a}}y={\frac {c}{a}}$

$x+{\frac {e}{d}}y={\frac {f}{d}}$

Trừ 2 phương trình trên, ta được

$({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})\times y=({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})$

Tìm giá trị nghiệm số y

$y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}$

Chia phương trình 2 cho b và phương trình 2 cho e, ta được

${\frac {a}{b}}x+y={\frac {c}{b}}$

${\frac {d}{e}}x+y={\frac {f}{e}}$

Trừ 2 phương trình trên, ta được

$({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})\times x=({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})$

Tìm giá trị nghiệm số x

$x={\frac {({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})}{({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})}}$

Vậy, hệ phương trình đường thẳng

$ax+by=c$

$dx+ey=f$

Có nghiệm 2 nghiệm số

$x={\frac {({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})}{({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})}}$

$y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}$

Thí dụ

$2x+3y=4$

$5x+6y=7$

Thế $a=2,b=3,c=4,d=5,e=6,f=7$ vào

$x={\frac {({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})}{({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})}}$

$y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}$

Ta có

$x={\frac {({\frac {4}{3}}-{\frac {7}{6}})}{({\frac {2}{3}}-{\frac {5}{6}})}}={\frac {3}{6}}/-{\frac {3}{6}}=-1$

$y={\frac {({\frac {4}{2}}-{\frac {7}{5}})}{({\frac {3}{2}}-{\frac {6}{7}})}}={\frac {6}{10}}/{\frac {3}{14}}={\frac {84}{30}}$

Ma trận

Hệ phương trình đường thẳng được viết dưới dạng Ma trận như sau

$\mathbf {} {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{bmatrix}}.$$\mathbf {} {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.$$\mathbf {} {\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\end{bmatrix}}.$

Tìm det của ma trận

det $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{bmatrix}}.=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})$

det $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}a_{1n}&a_{12}\\a_{2n}&a_{22}\\\end{bmatrix}}.=(a_{1n}a_{22}-a_{2n}a_{12})$

det $\mathbf {y} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{1n}\\a_{22}&a_{2n}\\\end{bmatrix}}.=(a_{11}a_{2n}-a_{22}a_{1n})$

Có nghiệm là

$x={\frac {detx}{detA}}={\frac {(a_{1n}a_{22}-a_{2n}a_{12})}{(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})}}$

$y={\frac {dety}{detA}}={\frac {(a_{11}a_{2n}-a_{22}a_{1n})}{(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})}}$