Sách toán/Hệ phương trình đường thẳng

Hệ phương trình đường thẳng

Hệ phương trình đường thẳng co dạng tổng quát

$ax+by=c$

$dx+ey=f$

Giải hệ phương trình đường thẳng

Với hệ phương trình đường thẳng co dạng tổng quát

$ax+by=c$

$dx+ey=f$

Chia phương trình 1 cho a và phương trình 2 cho d, ta được

$x+\frac{b}{a}y=\frac{c}{a}$

$x+\frac{e}{d}y=\frac{f}{d}$

Trừ 2 phương trình trên, ta được

$(\frac{b}{a}-\frac{e}{d})\times y=(\frac{c}{a}-\frac{f}{d})$

Tìm giá trị nghiệm số y

$y=\frac{(\frac{c}{a}-\frac{f}{d})}{(\frac{b}{a}-\frac{e}{d})}$

Chia phương trình 2 cho b và phương trình 2 cho e, ta được

$\frac{a}{b}x+y=\frac{c}{b}$

$\frac{d}{e}x+y=\frac{f}{e}$

Trừ 2 phương trình trên, ta được

$(\frac{a}{b}-\frac{d}{e})\times x=(\frac{c}{b}-\frac{f}{e})$

Tìm giá trị nghiệm số x

$x=\frac{(\frac{c}{b}-\frac{f}{e})}{(\frac{a}{b}-\frac{d}{e})}$

Vậy, hệ phương trình đường thẳng

$ax+by=c$

$dx+ey=f$

Có nghiệm 2 nghiệm số

$x=\frac{(\frac{c}{b}-\frac{f}{e})}{(\frac{a}{b}-\frac{d}{e})}$

$y=\frac{(\frac{c}{a}-\frac{f}{d})}{(\frac{b}{a}-\frac{e}{d})}$

Thí dụ

$2x+3y=4$

$5x+6y=7$

Thế $a=2,b=3,c=4,d=5,e=6,f=7$ vào

$x=\frac{(\frac{c}{b}-\frac{f}{e})}{(\frac{a}{b}-\frac{d}{e})}$

$y=\frac{(\frac{c}{a}-\frac{f}{d})}{(\frac{b}{a}-\frac{e}{d})}$

Ta có

$x=\frac{(\frac{4}{3}-\frac{7}{6})}{(\frac{2}{3}-\frac{5}{6})}=\frac{3}{6}/-\frac{3}{6}=-1$

$y=\frac{(\frac{4}{2}-\frac{7}{5})}{(\frac{3}{2}-\frac{6}{7})}=\frac{6}{10}/\frac{3}{14}=\frac{84}{30}$

Ma trận

Hệ phương trình đường thẳng được viết dưới dạng Ma trận như sau

$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right].$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right].$$\left[\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\end{array}\right].$

Tìm det của ma trận

det $𝐀=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right].=(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})$

det $𝐱=\left[\begin{array}{cc}{a}_{1n}& a_{12}\\ a_{2n}& a_{22}\end{array}\right].=(a_{1n}{a}_{22}-a_{2n}{a}_{12})$

det $𝐲=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{1n}\\ a_{22}& a_{2n}\end{array}\right].=(a_{11}{a}_{2n}-a_{22}{a}_{1n})$

Có nghiệm là

$x=\frac{detx}{detA}=\frac{(a_{1n}{a}_{22}-a_{2n}{a}_{12})}{(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})}$

$y=\frac{dety}{detA}=\frac{(a_{11}{a}_{2n}-a_{22}{a}_{1n})}{(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})}$