Sách toán/Đẳng thức đại số

Biểu thức đại số có 2 vế bằng nhau

Thí dụ

Định lý Pythagore

$c^2=a^2+b^2$

$5^2=3^2+4^2$

$25=9+16$

Lũy thừa n của tổng 2 số

$(a+b{)}^0=1$

$(a+b{)}^1=a+b$

$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$

$(a+b{)}^3=(a+b)(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

$(a+b{)}^n=(a+b)(a+b)(a+b)\mathrm{....}(a+b)=a^n+ab+ab+b^2=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^n$

Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây

                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

Dạng tổng quát

$(x+y{)}^n=\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})x^r{y}^{n-r}$

$(x+y{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^0{y}^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^1{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})x^{n-1}{y}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})x^n{y}^0$

$(x+y{)}^n=y^n+nx{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+n{x}^{n-1}y+x^n$

Với

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

Lũy thừa n của hiệu 2 số

$(a-b{)}^0=1$

$(a-b{)}^1=a-b$

$(a-b{)}^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$

$(a+b{)}^3=(a+b)(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

$(a-b{)}^n=(a-b)(a-b)(a-b)\mathrm{....}(a-b)=a^n+ab+ab+b^2=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2\mathrm{....}-b^n$

Lũy thừa tổng lập phương 2 số

$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(a-b{)}^2+2ab$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Lũy thừa hiệu lập phương 2 số

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Tổng kết

Đẳng thức đại số đúng trong mọi trườmg hợp

1. $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
2. $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$
3. $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(a-b{)}^2+2ab$
4. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
5. $(a+b{)}^3=a^3+3(a^2)b+3a(b^2)+b^3$
6. $(a-b{)}^3=a^3-3(a^2)b+3a(b^2)-b^3$
7. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
8. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

=> Từ hằng đẳng thức thứ 3 và 7 ta có dạng tổng quát:

</math> với n thuộc tập N

=> Từ hằng đẳng thức thứ 6 ta có dạng tổng quát với n là số lẻ:

$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2-\mathrm{...}+a^2.b^{n-3}-a.b^{n-2}+b^{n-1})$ với n là số lẻ thuộc tập N

=> Từ hằng đẳng thức thứ 3 và 4, ta có thêm 2 hằng đẳng thức sau:

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$(a+b+c{)}^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)$