Sách toán/Đẳng thức đại số

Biểu thức đại số có 2 vế bằng nhau

Thí dụ

Định lý Pythagore

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

$5^{2}=3^{2}+4^{2}$

$25=9+16$

Lũy thừa n của tổng 2 số

$(a+b)^{0}=1$

$(a+b)^{1}=a+b$

$(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$(a+b)^{3}=(a+b)(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

$(a+b)^{n}=(a+b)(a+b)(a+b)....(a+b)=a^{n}+ab+ab+b^{2}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{n}$

Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây

                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

Dạng tổng quát

$(x+y)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}x^{r}y^{n-r}$

$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{0}y^{n}+{n \choose 1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+{n \choose {n-1}}x^{n-1}y^{1}+{n \choose n}x^{n}y^{0}$

$(x+y)^{n}=y^{n}+nxy^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+nx^{n-1}y+x^{n}$

Với

${n \choose r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

Lũy thừa n của hiệu 2 số

$(a-b)^{0}=1$

$(a-b)^{1}=a-b$

$(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

$(a+b)^{3}=(a+b)(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

$(a-b)^{n}=(a-b)(a-b)(a-b)....(a-b)=a^{n}+ab+ab+b^{2}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}....-b^{n}$

Lũy thừa tổng lập phương 2 số

$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a-b)^{2}+2ab$

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

Lũy thừa hiệu lập phương 2 số

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

Tổng kết

Đẳng thức đại số đúng trong mọi trườmg hợp

1. $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
2. $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
3. $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a-b)^{2}+2ab$
4. $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
5. $(a+b)^{3}=a^{3}+3(a^{2})b+3a(b^{2})+b^{3}$
6. $(a-b)^{3}=a^{3}-3(a^{2})b+3a(b^{2})-b^{3}$
7. $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
8. $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

=> Từ hằng đẳng thức thứ 3 và 7 ta có dạng tổng quát:

</math> với n thuộc tập N

=> Từ hằng đẳng thức thứ 6 ta có dạng tổng quát với n là số lẻ:

$a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...+a^{2}.b^{n-3}-a.b^{n-2}+b^{n-1})$ với n là số lẻ thuộc tập N

=> Từ hằng đẳng thức thứ 3 và 4, ta có thêm 2 hằng đẳng thức sau:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

$(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}=3(a+b)(b+c)(c+a)$