Sách giải tích/Tổng dải số/Tổng chuổi số cấp số nhân

Tổng chuổi số cấp số nhân có dạng tổng quát

$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

$S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}$

$rS=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n}$

$S-rS=a-ar^{n}$

$S={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

$S={\frac {a}{1-r}}$ với $n<1$

Thí dụ

$1+1.1+1.1^{2}+1.1^{3}=4$

$1+1.2+1.2^{2}+1.2^{3}=1+2+4+8=15$