Sách giải tích/Tổng dải số/Tổng chuổi số Fourier

Tổng chuổi số Fourier có dạng tổng quát tổng của sine and cosine như sau

${\begin{aligned}s_{N}(x)&=\overbrace {a_{0}} ^{A_{0}}/2+\sum _{n=1}^{N}\left(\overbrace {a_{n}} ^{A_{n}\sin(\phi _{n})}\cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)+\overbrace {b_{n}} ^{A_{n}\cos(\phi _{n})}\sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)\right),\\\end{aligned}}$

Với

${\begin{aligned}a_{0}&=A_{0}\\a_{n}&=A_{n}\sin(\phi _{n})&{\text{for }}n\geq 1\\b_{n}&=A_{n}\cos(\phi _{n})&{\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}$

Giá trị hằng số a,b

${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)\ dx&{\text{for }}n\geq 0\\b_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)\ dx&{\text{for }}n>0\end{aligned}}$

Dạng tổng của lũy thừa

${\begin{aligned}s_{N}(x)&=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}},\end{aligned}}$

Với

$c_{n}\ \triangleq \ {\begin{cases}{\frac {A_{n}}{2i}}e^{i\phi _{n}}={\frac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})&{\text{for }}n>0\\{\frac {1}{2}}A_{0}={\frac {1}{2}}a_{0}&{\text{for }}n=0\\{\frac {-A_{-n}}{2i}}e^{-i\phi _{-n}}={\frac {1}{2}}(a_{-n}+ib_{-n})=c_{|n|}^{*}&{\text{for }}n<0.\end{cases}}$

Giá trị hằng số c

$c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\quad {\text{for }}n\in \mathbb {N}$

Ứng dụng

Sóng vuông

Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine

$s_{N}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}+\phi _{n}\right),\quad {\text{for integer}}\ N\ \geq \ 1.$