Sách giải tích/Phương trình đạo hàm/Phương trình đạo hàm bậc hai

Dạng tổng quát

$af^{''}(t)+bf^{'}(t)+cf(t)=0$

Giải phương trình

$a{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)+{\frac {d}{dt}}f(t)+cf(t)=0$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=-{\frac {b}{a}}{\frac {d}{dt}}f(t)-{\frac {c}{a}}f(t)$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=-2\alpha {\frac {d}{dt}}f(t)-\beta f(t)$

Cho nghiệm phương trình

Với $\alpha =\beta$	1 nghiệm số thực	$f(t)=Ae^{-\alpha t}$
Với $\alpha >\beta$	2 nghiệm số thực	$f(t)=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )t}$
Với $\alpha <\beta$	2 nghiệm số phức	$f(t)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )\sin \omega t$

Với

$A(\alpha )=Ae^{-\alpha t}$

$\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}$

$\beta ={\frac {c}{a}}$

$\alpha ={\frac {b}{2a}}$

Với $\alpha =0$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=-\beta f(t)$

$f(t)=Ae^{{\sqrt {-\beta }}t}=Ae^{\pm j\omega t}=A\sin \omega t$

$\beta ={\frac {1}{T}}$

$T=LC$

Ứng dụng

• RLC nối tiếp