Điện trở là một linh kiện điện tử thụ động tạo từ một cộng dây thẳng dẩn điện có công dụng làm giảm điện .
Điện trở kháng và Điện dẩn là tính chất của điện trở cho biết khả năng kháng điện và dẩn điện của điện trở . Điện trở kháng có ký hiệu R và đo bằng đơn vị Ohm Ω
Điện trở kháng của cộng dây thẳng dẩn điện có kích thước Chiều dài l , Với Diện tích bề mặt A, và Độ dẩn điện ρ .
R
=
ρ
l
A
{\displaystyle R=\rho {\frac {l}{A}}}
Trong mạch điện của điện trở với điện , Điện trở kháng được tính theo định luật Ohm như sau
R
=
V
I
{\displaystyle R={\frac {V}{I}}}
R
=
V
I
=
ρ
l
A
{\displaystyle R={\frac {V}{I}}=\rho {\frac {l}{A}}}
ρ
=
V
I
A
l
=
1
σ
{\displaystyle \rho ={\frac {V}{I}}{\frac {A}{l}}={\frac {1}{\sigma }}}
Điện dẩn có ký hiệu G và đo bằng đơn vị 1/Ohm 1/Ω
Điện dẩn của cộng dây thẳng dẩn điện có kích thước Chiều dài l , Với Diện tích bề mặt A, và Độ dẩn điện ρ .
R
=
ρ
l
A
{\displaystyle R=\rho {\frac {l}{A}}}
G
=
1
R
=
1
ρ
l
A
=
σ
A
l
{\displaystyle G={\frac {1}{R}}={\frac {1}{\rho {\frac {l}{A}}}}=\sigma {\frac {A}{l}}}
σ
=
1
ρ
{\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\rho }}}
Trong mạch điện của điện trở với điện , Điện trở kháng được tính theo định luật Ohm như sau
G
=
1
R
=
I
V
{\displaystyle G={\frac {1}{R}}={\frac {I}{V}}}
Độ dẫn điện cũng là nghịch đảo của điện trở suất ρ :
G
=
σ
A
l
=
I
V
{\displaystyle G=\sigma {\frac {A}{l}}={\frac {I}{V}}}
σ
=
1
ρ
=
I
V
l
A
{\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\rho }}={\frac {I}{V}}{\frac {l}{A}}}
Trong hệ SI σ có đơn vị chuẩn là S/m (Siemens trên mét ), các đơn vị biến đổi khác như S/cm, m/Ω·mm² và S·m/mm² cũng thường được dùng, với 1 S/cm = 100 S/m và 1 m/Ω·mm² = S·m/mm² = 106 S/m. Riêng ở Hoa Kỳ σ còn có đơn vị % IACS (International Annealed Copper Standard), phần trăm độ dẫn điện của đồng nóng chảy, 100 % IACS = 58 M S/m. Giá trị độ dẫn điện của dây trần trong các đường dây điện cao thế thường được đưa ra bằng % IACS.
Độ dẫn điện của một số kim loại ở khoảng 27 °C:
Chất dẫn điện
Phân loại
σ in S/m
Nguồn
Bạc Kim loại
61,39 · 106
Đồng Kim loại
≥ 58,0 · 106
Vàng Kim loại
44,0 · 106
Nhôm Kim loại
36,59 · 106
Natri Kim loại
21 · 106
Wolfram Kim loại
18,38 · 106
Đồng thau (CuZn37)Kim loại
≈ 15,5 · 106
Sắt Kim loại
10,02 · 106
Crom Kim loại
8,74 · 106
Chì Kim loại
4,69 · 106
Titan (bei 273 K)Kim loại
2,56 · 106
Thép không gỉ (1.4301)Kim loại
1,4 · 106
Thủy ngân Kim loại
1,04 · 106
Gadolini Kim loại
0,74 · 106
Than chì (parallel zu Schichten)Phi kim
3 · 106
Polymer dẫn điện –
10−11 bis 105
Germani Bán dẫn
1,45
Silic , undotiertBán dẫn
252 · 10−6
Teluride Bán dẫn
5 · 10−3
Nước biển –
≈ 5
Nước máy –
≈ 50 · 10−3
Nước tinh khiết –
5 · 10−6
[ sửa ] Trong việc chế biến điện trở, người ta dùng hệ thống mã vạch màu để cho biết giá trị của điện trở kháng
Đen (Black)
(Brown)
Đỏ (Red)
Cam (Orange)
Vàng (Yellow)
Xanh Lá Cây (Green)
Xanh Dương (Blue)
(Tím (Violet)
Xám (Grey)
Trắng (White)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cách Tính Giá Trị Điện Trở
Vạch màu thứ nhất cho biết giá trị thứ nhứt của Điện TrởVạch màu thứ hai cho biết giá trị thứ hai của Điện TrởVạch màu thứ ba cho biết cấp số nhân của lủy thừa mườiVạch màu cuối cho biết sự thay đổi giá trị của điện trở theo nhiệt độThí Dụ
Điện Trở có cá vạch màu Nâu, Đen, Đỏ, Vàng Kim . Giá trị Kháng trở sẻ là
1 0 X 102 10% = 1000 Ω + 10% = 1 kΩ + 10% [ sửa ] 600 cho một giá trị là 600Ω
2003 cho một giá trị 200×103 = 200kΩ
2R5 cho một giá trị 2.5Ω
R01 cho một giá trị 0.01Ω
Điện trở kháng của điện trở được tính theo Định luật Ohm
R
=
V
I
{\displaystyle R={\frac {V}{I}}}
Điện dẩn của điện trở được tính theo sau
G
=
1
R
=
I
V
{\displaystyle G={\frac {1}{R}}={\frac {I}{V}}}
Điện thế của điện trở được tính theo Định luật Volt
V
=
I
R
{\displaystyle V=IR}
Điện thế của điện trở được tính theo Định luật Ampere
I
=
V
R
{\displaystyle I={\frac {V}{R}}}
Điện ứng của điện trở
X
R
=
v
(
t
)
i
(
t
)
=
0
{\displaystyle X_{R}={\frac {v(t)}{i(t)}}=0}
Điện kháng của điện trở
Z
R
=
R
+
X
R
=
R
∠
0
=
R
=
r
{\displaystyle Z_{R}=R+X_{R}=R\angle 0=R=r}
Điện thế của điện trở
v
(
t
)
=
i
(
t
)
X
R
{\displaystyle v(t)=i(t)X_{R}}
Dòng điện của điện trở
i
(
t
)
=
v
(
t
)
X
R
{\displaystyle i(t)={\frac {v(t)}{X_{R}}}}
Năng lượng điện của điện trở
p
(
t
)
=
i
(
t
)
v
(
t
)
{\displaystyle p(t)=i(t)v(t)}
Điện trở khi dẩn điện tạo ra từ trừong bao quanh lấy điện trở có cường độ tính theo Định luật Ampere . Cường độ từ trường được gọi là Từ cảm
Định luật Ampere
B
=
L
i
=
μ
A
i
=
μ
2
π
r
i
{\displaystyle B=Li={\frac {\mu }{A}}i={\frac {\mu }{2\pi r}}i}
Từ dung
L
=
B
i
=
μ
2
π
r
{\displaystyle L={\frac {B}{i}}={\frac {\mu }{2\pi r}}}
[ sửa ] Điện trở khi dẩn điện tạo ra nhiệt trong điện trở và giải thoát nhiệt vào môi trường xung quanh dưới dạng năng lượng nhiệt .
[ sửa ]
W
i
=
i
2
R
(
T
)
{\displaystyle W_{i}=i^{2}R(T)}
R
(
T
)
=
R
o
+
n
T
{\displaystyle R(T)=R_{o}+nT}
R
(
T
)
=
R
o
e
n
T
{\displaystyle R(T)=R_{o}e^{nT}}
[ sửa ] Năng lực nhiệt giải thoát vào môi trường xung quanh của điện trở khi điện trở dẩn điện
W
=
p
v
=
m
C
Δ
T
{\displaystyle W=pv=mC\Delta T}
Khối lượng
m
=
p
v
C
Δ
T
=
p
λ
{\displaystyle m=p{\frac {v}{C\Delta T}}=p\lambda }
Động lượng
p
=
m
C
Δ
T
v
=
m
λ
{\displaystyle p=m{\frac {C\Delta T}{v}}={\frac {m}{\lambda }}}
Bước sóng
λ
=
m
v
C
Δ
T
=
m
p
{\displaystyle \lambda =m{\frac {v}{C\Delta T}}={\frac {m}{p}}}
Nhiều điện trở được mắc nối với nhau theo các định dạng sau
[ sửa ] Mạch điện của nhiều điện trở mắc nối kề nhau
Khi mắc nối tiếp nhiều điện trở lại với nhau, tổng của các điện trở sẻ tăng và bằng với tổng điện kháng của các Điện trở
R
e
q
=
R
1
+
R
2
+
R
3
+
.
.
.
+
R
n
{\displaystyle R_{eq}=R_{1}+R_{2}+R_{3}+...+R_{n}\,}
Khi mắc n điện trở cùng giá trị nối tiếp với nhau, Điện Kháng sẻ tăng gấp n
R
e
q
=
R
1
+
R
2
+
.
.
.
+
R
n
=
R
+
R
+
.
.
.
+
R
=
n
R
{\displaystyle R_{eq}=R_{1}+R_{2}+...+R_{n}=R+R+...+R=nR}
[ sửa ] Khi mắc song song nhiều điện trở lại với nhau, tổng của các điện trở sẻ giảm và bằng
1
R
e
q
=
1
R
1
+
1
R
2
+
.
.
.
+
1
R
n
{\displaystyle {\frac {1}{R_{eq}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+...+{\frac {1}{R_{n}}}\,}
Khi mắc n điện trở cùng giá trị song song với nhau, Điện Kháng sẻ giảm gấp n
1
R
e
q
=
1
R
1
+
1
R
2
+
.
.
.
+
1
R
n
=
1
R
+
1
R
+
.
.
.
+
1
R
=
1
n
R
{\displaystyle {\frac {1}{R_{eq}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+...+{\frac {1}{R_{n}}}={\frac {1}{R}}+{\frac {1}{R}}+...+{\frac {1}{R}}={\frac {1}{n}}R}
[ sửa ]
i
=
V
R
2
+
R
1
{\displaystyle i={\frac {V}{R_{2}+R_{1}}}}
V
o
=
i
R
2
=
R
i
v
i
R
2
+
R
1
{\displaystyle V_{o}=iR_{2}=R_{i}{\frac {v_{i}}{R_{2}+R_{1}}}}
V
o
V
i
=
R
2
R
2
+
R
1
{\displaystyle {\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {R_{2}}{R_{2}+R_{1}}}}
V
o
V
i
=
R
2
R
2
+
R
1
{\displaystyle {\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {R_{2}}{R_{2}+R_{1}}}}
||
V
=
V
2
R
1
R
1
+
R
3
=
V
1
R
1
R
2
+
R
1
{\displaystyle V=V_{2}{\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{3}}}=V_{1}{\frac {R_{1}}{R_{2}+R_{1}}}}
V
2
V
1
=
R
1
+
R
3
R
1
R
1
R
2
+
R
3
{\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}={\frac {R_{1}+R_{3}}{R_{1}}}{\frac {R_{1}}{R_{2}+R_{3}}}}
V
2
V
1
=
R
1
+
R
3
R
2
+
R
3
{\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}={\frac {R_{1}+R_{3}}{R_{2}+R_{3}}}}
i
1
=
i
2
+
i
3
{\displaystyle i_{1}=i_{2}+i_{3}}
v
i
R
1
=
v
i
−
v
o
R
2
+
v
o
R
3
{\displaystyle {\frac {v_{i}}{R_{1}}}={\frac {v_{i}-v_{o}}{R_{2}}}+{\frac {v_{o}}{R_{3}}}}
v
i
v
o
=
(
R
3
R
1
)
(
R
2
−
R
1
R
2
−
R
3
)
{\displaystyle {\frac {v_{i}}{v_{o}}}=({\frac {R_{3}}{R_{1}}})({\frac {R_{2}-R_{1}}{R_{2}-R_{3}}})}
v
o
v
i
=
(
R
3
R
1
)
(
R
2
−
R
1
R
2
−
R
3
)
{\displaystyle {\frac {v_{o}}{v_{i}}}=({\frac {R_{3}}{R_{1}}})({\frac {R_{2}-R_{1}}{R_{2}-R_{3}}})}
[ sửa ]
R
E
Q
=
(
R
1
‖
R
2
)
+
R
3
{\displaystyle R_{EQ}=(R_{1}\|R_{2})+R_{3}}
R
E
Q
=
R
1
R
2
R
1
+
R
2
+
R
3
{\displaystyle R_{EQ}={R_{1}R_{2} \over R_{1}+R_{2}}+R_{3}}
[ sửa ] Hoán Chuyển Δ - Y và Hoán Chuyển Y - Δ
Hoán Chuyển Δ - Y
R
1
=
R
a
R
b
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle R_{1}={\frac {R_{\mathrm {a} }R_{\mathrm {b} }}{R_{\mathrm {a} }+R_{\mathrm {b} }+R_{\mathrm {c} }}}}
R
2
=
R
b
R
c
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle R_{2}={\frac {R_{\mathrm {b} }R_{\mathrm {c} }}{R_{\mathrm {a} }+R_{\mathrm {b} }+R_{\mathrm {c} }}}}
R
3
=
R
c
R
a
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle R_{3}={\frac {R_{\mathrm {c} }R_{\mathrm {a} }}{R_{\mathrm {a} }+R_{\mathrm {b} }+R_{\mathrm {c} }}}}
Hoán Chuyển Y - Δ
R
a
=
R
1
R
2
+
R
2
R
3
+
R
3
R
1
R
2
{\displaystyle R_{\mathrm {a} }={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}}
R
b
=
R
1
R
2
+
R
2
R
3
+
R
3
R
1
R
3
{\displaystyle R_{\mathrm {b} }={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}}
R
c
=
R
1
R
2
+
R
2
R
3
+
R
3
R
1
R
1
{\displaystyle R_{\mathrm {c} }={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}}
Mạch điện RL là mạch điện điện tử có 2 linh kiện tử Điện trở R và Tụ điện L cùng với các lối mắc để tạo ra một bộ phận điện tử có khả năng thực thi một việc
[ sửa ] Ở trạng thái cân bằng, tổng mạch điện của cuộn từ và điện trở bằng không
V
L
+
V
R
=
0
{\displaystyle V_{L}+V_{R}=0}
L
d
i
(
t
)
d
t
+
i
(
t
)
R
=
0
{\displaystyle L{\frac {di(t)}{dt}}+i(t)R=0}
d
i
(
t
)
d
t
+
1
T
i
(
t
)
=
0
{\displaystyle {\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {1}{T}}i(t)=0}
s
i
(
t
)
+
1
T
i
(
t
)
=
0
{\displaystyle si(t)+{\frac {1}{T}}i(t)=0}
s
=
−
1
T
=
−
α
{\displaystyle s=-{\frac {1}{T}}=-\alpha }
T
=
L
R
{\displaystyle T={\frac {L}{R}}}
i
(
t
)
=
A
e
s
t
=
A
e
−
α
t
{\displaystyle i(t)=Ae^{st}=Ae^{-\alpha t}}
[ sửa ]
v
o
v
i
=
R
R
+
j
ω
L
=
1
1
+
j
ω
L
R
=
1
1
+
j
ω
T
{\displaystyle {\frac {v_{o}}{v_{i}}}={\frac {R}{R+j\omega L}}={\frac {1}{1+j\omega {\frac {L}{R}}}}={\frac {1}{1+j\omega T}}}
T
=
L
R
{\displaystyle T={\frac {L}{R}}}
ω
o
=
1
T
=
R
L
=
2
π
f
o
{\displaystyle \omega _{o}={\frac {1}{T}}={\frac {R}{L}}=2\pi f_{o}}
v
o
(
ω
=
0
)
=
v
i
{\displaystyle v_{o}(\omega =0)=v_{i}}
v
o
(
ω
=
ω
o
)
=
v
i
2
{\displaystyle v_{o}(\omega =\omega _{o})={\frac {v_{i}}{2}}}
v
o
(
ω
=
00
)
=
0
{\displaystyle v_{o}(\omega =00)=0}
[ sửa ]
v
o
v
i
=
j
ω
L
R
+
j
ω
L
=
j
ω
L
R
1
+
j
ω
L
R
=
j
ω
T
1
+
j
ω
T
{\displaystyle {\frac {v_{o}}{v_{i}}}={\frac {j\omega L}{R+j\omega L}}={\frac {j\omega {\frac {L}{R}}}{1+j\omega {\frac {L}{R}}}}={\frac {j\omega T}{1+j\omega T}}}
T
=
L
R
{\displaystyle T={\frac {L}{R}}}
ω
o
=
1
T
=
R
L
=
2
π
f
{\displaystyle \omega _{o}={\frac {1}{T}}={\frac {R}{L}}=2\pi f}
v
o
(
ω
=
0
)
=
0
{\displaystyle v_{o}(\omega =0)=0}
v
o
(
ω
=
ω
o
)
=
v
i
2
{\displaystyle v_{o}(\omega =\omega _{o})={\frac {v_{i}}{2}}}
v
o
(
ω
=
0
)
=
v
i
{\displaystyle v_{o}(\omega =0)=v_{i}}
Mạch điện RC là mạch điện điện tử có 2 linh kiện tử Điện trở R và Tụ điện C cùng với các lối mắc để tạo ra một bộ phận điện tử có khả năng thực thi một việc
[ sửa ] Ở trạng thái cân bằng, tổng mạch điện của tụ điện và điện trở bằng không
C
d
v
(
t
)
d
t
+
v
(
t
)
R
=
0
{\displaystyle C{\frac {dv(t)}{dt}}+v(t)R=0}
d
v
(
t
)
d
t
+
1
T
v
(
t
)
R
=
0
{\displaystyle {\frac {dv(t)}{dt}}+{\frac {1}{T}}v(t)R=0}
s
v
(
t
)
+
1
T
v
(
t
)
=
0
{\displaystyle sv(t)+{\frac {1}{T}}v(t)=0}
s
=
−
1
T
=
−
α
{\displaystyle s=-{\frac {1}{T}}=-\alpha }
T
=
R
C
{\displaystyle T=RC}
v
(
t
)
=
A
e
s
t
=
A
e
−
α
t
{\displaystyle v(t)=Ae^{st}=Ae^{-\alpha t}}
Mạch điện điện tử có 3 linh kiện điện tử R,L,C mắc nối với nhau tạo thành một bộ phận điện tử có khả năng thực thi một việc
[ sửa ] Ở trạng thái cân bằng
V
L
+
V
C
+
V
R
=
0
{\displaystyle V_{L}+V_{C}+V_{R}=0}
L
d
2
i
(
t
)
d
t
2
+
1
C
∫
i
(
t
)
d
t
+
i
(
t
)
R
=
0
{\displaystyle L{\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{C}}\int i(t)dt+i(t)R=0}
d
2
i
(
t
)
d
t
2
+
R
L
d
i
(
t
)
d
t
+
1
L
C
i
(
t
)
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+{\frac {R}{L}}{\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {1}{LC}}i(t)=0}
d
2
i
(
t
)
d
t
2
+
R
2
L
d
i
(
t
)
d
t
+
1
L
C
i
(
t
)
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+{\frac {R}{2L}}{\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {1}{LC}}i(t)=0}
s
2
i
(
t
)
+
2
s
α
i
(
t
)
+
β
i
(
t
)
=
0
{\displaystyle s^{2}i(t)+2s\alpha i(t)+\beta i(t)=0}
Với
β
=
1
T
=
1
L
C
{\displaystyle \beta ={\frac {1}{T}}={\frac {1}{LC}}}
α
=
β
γ
=
R
2
L
{\displaystyle \alpha =\beta \gamma ={\frac {R}{2L}}}
ω
=
λ
−
α
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\lambda -\alpha }}}
λ
=
α
−
λ
{\displaystyle \lambda ={\sqrt {\alpha -\lambda }}}
Phương trình trên trở thành
s
2
+
2
s
α
+
β
=
0
{\displaystyle s^{2}+2s\alpha +\beta =0}
Có nghiệm phương trình như sau
1 nghiệm thực
α
=
β
{\displaystyle \alpha =\beta }
i
(
t
)
=
A
e
−
α
t
=
A
(
α
)
{\displaystyle i(t)=Ae^{-\alpha t}=A(\alpha )}
2 nghiệm thực
α
>
β
{\displaystyle \alpha >\beta }
i
(
t
)
=
A
e
(
−
α
±
λ
)
t
=
A
(
α
)
e
λ
t
+
A
(
α
)
e
−
λ
t
{\displaystyle i(t)=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )t}=A(\alpha )e^{\lambda t}+A(\alpha )e^{-\lambda t}}
2 nghiệm phức
α
<
β
{\displaystyle \alpha <\beta }
i
(
t
)
=
A
e
(
−
α
±
j
ω
t
=
A
(
α
)
s
i
n
ω
t
{\displaystyle i(t)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega t}=A(\alpha )sin\omega t}
Z
L
+
Z
C
+
Z
R
=
R
{\displaystyle Z_{L}+Z_{C}+Z_{R}=R}
Z
L
+
Z
C
=
0
{\displaystyle Z_{L}+Z_{C}=0}
Z
L
=
−
Z
C
{\displaystyle Z_{L}=-Z_{C}}
ω
o
=
±
j
1
T
o
{\displaystyle \omega _{o}=\pm j{\sqrt {\frac {1}{T_{o}}}}}
T
o
=
L
C
{\displaystyle T_{o}=LC}
i
(
ω
=
0
)
=
0
{\displaystyle i(\omega =0)=0}
i
(
ω
=
ω
o
)
=
v
R
{\displaystyle i(\omega =\omega _{o})={\frac {v}{R}}}
i
(
ω
=
00
)
=
0
{\displaystyle i(\omega =00)=0}
i
=
V
i
n
R
2
+
R
1
{\displaystyle i={\frac {V_{in}}{R_{2}+R_{1}}}}
V
o
u
t
=
i
R
2
{\displaystyle V_{out}=iR_{2}}
V
o
u
t
=
R
2
V
i
n
R
2
+
R
1
{\displaystyle V_{out}=R_{2}{\frac {V_{in}}{R_{2}+R_{1}}}}
V
o
u
t
V
i
n
=
R
2
R
2
+
R
1
{\displaystyle {\frac {V_{out}}{V_{in}}}={\frac {R_{2}}{R_{2}+R_{1}}}}
[ sửa ] Tỉ lệ điện thế xuất trên điện thế nhập
v
o
v
i
=
1
1
+
j
ω
T
{\displaystyle {\frac {v_{o}}{v_{i}}}={\frac {1}{1+j\omega T}}}
Hằng số thời gian
T
=
R
C
{\displaystyle T=RC}
T
=
L
R
{\displaystyle T={\frac {L}{R}}}
Tỉ lệ điện thế xuất trên điện thế nhập
v
o
v
i
=
j
ω
T
1
+
j
ω
T
{\displaystyle {\frac {v_{o}}{v_{i}}}={\frac {j\omega T}{1+j\omega T}}}
Hằng số thời gian
T
=
L
R
{\displaystyle T={\frac {L}{R}}}
T
=
R
C
{\displaystyle T=RC}
![{\displaystyle P=P_{v}-P_{r}=iv-i^{2}R(T)=i[v-iR(T)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75086ffdc080a104e34711598a5e6fae6fc194da)
