Trong Bản mẫu:Webarchive không gian Euclide ba chiều, ba mặt phẳng này biểu diễn các nghiệm của phương trình tuyến tính, và giao tuyến của chúng biểu thị tập các nghiệm chung: trong trường hợp này là một điểm duy nhất. Đường màu xanh lam là nghiệm chung cho hai phương trình này. các phương trình tuyến tính như:
a
1
x
1
+
⋯
+
a
n
x
n
=
b
,
{\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b,}
ánh xạ tuyến tính như:
(
x
1
,
…
,
x
n
)
↦
a
1
x
1
+
…
+
a
n
x
n
,
{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n},}
và biểu diễn của chúng trong không gian vectơ và thông qua ma trận
Tính chất [ sửa ] Không gian vectơ [ sửa ] Cấu trúc chính của đại số tuyến tính là các không gian vectơ . Một không gian vectơ trên trường số
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
tập
V
{\displaystyle V}
phép toán hai ngôi . Các phần tử trong
V
{\displaystyle V}
vectơ
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
vô hướng . Phép toán đầu tiên là phép cộng vectơ , cộng 2 vectơ
v
{\displaystyle v}
w
{\displaystyle w}
v
+
w
{\displaystyle v+w}
a
{\displaystyle a}
v
{\displaystyle v}
a
v
{\displaystyle av}
phép nhân vô hướng của
v
{\displaystyle v}
a
{\displaystyle a}
tiên đề sau, với
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
w
{\displaystyle w}
V
{\displaystyle V}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
Tiên đề Công thức biểu diễn
Tính kết hợp của phép cộng
(
u
+
v
)
+
w
=
u
+
(
v
+
w
)
{\displaystyle (u+v)+w=u+(v+w)}
Phần tử trung hòa của phép cộngTồn tại một phần tử
0
∈
V
{\displaystyle 0\in V}
v
+
0
=
0
+
v
=
v
{\displaystyle v+0=0+v=v}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
Phần tử nghịch đảo của phép cộngVới mọi
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
−
v
∈
V
{\displaystyle -v\in V}
phần tử nghịch đảo của
v
{\displaystyle v}
v
+
(
−
v
)
=
(
−
v
)
+
v
=
0
{\displaystyle v+(-v)=(-v)+v=0}
Tính giao hoán của phép cộng
u
+
v
=
v
+
u
{\displaystyle u+v=v+u}
Tính phân phối của một phép nhân vô hướng với một phép cộng vectơ
a
(
u
+
v
)
=
a
u
+
a
v
{\displaystyle a(u+v)=au+av}
Tính phân phối của một phép nhân vô hướng với một phép cộng vô hướng
(
a
+
b
)
v
=
a
v
+
b
v
{\displaystyle (a+b)v=av+bv}
Phép nhân vô hướng kết hợp với phép nhân trong trường các số vô hướng
a
(
b
v
)
=
(
a
b
)
v
{\displaystyle a(bv)=(ab)v}
Phần tử đơn vị trong phép nhân vô hướng
1
v
=
v
{\displaystyle 1v=v}
1
{\displaystyle 1}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
Ánh xạ tuyến tính [ sửa ] Cho 2 không gian vectơ
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
ánh xạ tuyến tính ) là một ánh xạ :
T
:
V
→
W
{\displaystyle T:V\to W}
bảo toàn phép cộng và phép nhân vô hướng:
T
(
u
+
v
)
=
T
(
u
)
+
T
(
v
)
,
T
(
a
v
)
=
a
T
(
v
)
{\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v),\quad T(av)=aT(v)}
với mọi vectơ
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,v\in V}
a
∈
F
{\displaystyle a\in \mathbb {F} }
Thí dụ [ sửa ] Hệ phương trình đường thẳng [ sửa ] Phương trình đường thẳng co dạng tổng quát
a
x
+
b
y
=
c
{\displaystyle ax+by=c}
Hệ phương trình đường thẳng co dạng tổng quát
a
x
+
b
y
=
c
{\displaystyle ax+by=c}
d
x
+
e
y
=
f
{\displaystyle dx+ey=f}
Giải hệ phương trình đường thẳng [ sửa ] Với hệ phương trình đường thẳng co dạng tổng quát
a
x
+
b
y
=
c
{\displaystyle ax+by=c}
d
x
+
e
y
=
f
{\displaystyle dx+ey=f}
x
+
b
a
y
=
c
a
{\displaystyle x+{\frac {b}{a}}y={\frac {c}{a}}}
x
+
e
d
y
=
f
d
{\displaystyle x+{\frac {e}{d}}y={\frac {f}{d}}}
Trừ 2 phương trình trên, ta được
(
b
a
−
e
d
)
×
y
=
(
c
a
−
f
d
)
{\displaystyle ({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})\times y=({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}
Tìm giá trị nghiệm số y
y
=
(
c
a
−
f
d
)
(
b
a
−
e
d
)
{\displaystyle y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}}
a
b
x
+
y
=
c
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}x+y={\frac {c}{b}}}
d
e
x
+
y
=
f
e
{\displaystyle {\frac {d}{e}}x+y={\frac {f}{e}}}
Trừ 2 phương trình trên, ta được
(
a
b
−
d
e
)
×
x
=
(
c
b
−
f
e
)
{\displaystyle ({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})\times x=({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})}
Tìm giá trị nghiệm số y
a
x
+
b
y
=
c
{\displaystyle ax+by=c}
d
x
+
e
y
=
f
{\displaystyle dx+ey=f}
Có nghiệm 2 nghiệm số
x
=
(
c
b
−
f
e
)
(
a
b
−
d
e
)
{\displaystyle x={\frac {({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})}{({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})}}}
y
=
(
c
a
−
f
d
)
(
b
a
−
e
d
)
{\displaystyle y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}}
Thế số vào phương trình [ sửa ]
2
x
+
3
y
=
4
{\displaystyle 2x+3y=4}
5
x
+
6
y
=
7
{\displaystyle 5x+6y=7}
Thế
a
=
2
,
b
=
3
,
c
=
4
,
d
=
5
,
e
=
6
,
f
=
7
{\displaystyle a=2,b=3,c=4,d=5,e=6,f=7}
x
=
(
c
b
−
f
e
)
(
a
b
−
d
e
)
{\displaystyle x={\frac {({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})}{({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})}}}
y
=
(
c
a
−
f
d
)
(
b
a
−
e
d
)
{\displaystyle y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}}
Ta có
x
=
(
4
3
−
7
6
)
(
2
3
−
5
6
)
=
3
6
/
−
3
6
=
−
1
{\displaystyle x={\frac {({\frac {4}{3}}-{\frac {7}{6}})}{({\frac {2}{3}}-{\frac {5}{6}})}}={\frac {3}{6}}/-{\frac {3}{6}}=-1}
y
=
(
4
2
−
7
5
)
(
3
2
−
6
7
)
=
6
10
/
3
14
=
84
30
{\displaystyle y={\frac {({\frac {4}{2}}-{\frac {7}{5}})}{({\frac {3}{2}}-{\frac {6}{7}})}}={\frac {6}{10}}/{\frac {3}{14}}={\frac {84}{30}}}
Ma trận [ sửa ] Lối giải hệ phương trình tuyến tính [ sửa ] Hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn có dạng tổng quát
{
a
.
x
+
b
.
y
=
e
,
c
.
x
+
d
.
y
=
f
,
{\displaystyle {\begin{cases}a.x+b.y=e,\\c.x+d.y=f,\end{cases}}}
Giải phương trình cho nghiệm số
x
=
e
d
−
b
f
a
d
−
b
c
;
y
=
a
f
−
c
e
a
d
−
b
c
{\displaystyle x={\frac {ed-bf}{ad-bc}}\;\;;y={\frac {af-ce}{ad-bc}}}
Giải phương trình bằng ma trận [ sửa ] có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận:
A
=
[
a
b
c
d
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}.}
[
x
y
]
.
{\displaystyle \mathbf {} {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.}
[
e
f
]
.
{\displaystyle \mathbf {} {\begin{bmatrix}e\\f\\\end{bmatrix}}.}
Tìm định thức ma trận [ sửa ] Định thức của A
A
=
[
a
b
c
d
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
det (A )=ad -bc .
A
=
[
e
b
f
d
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}e&b\\f&d\end{bmatrix}}}
det (X )=ed -bf .
Y
=
[
a
e
c
f
]
{\displaystyle Y={\begin{bmatrix}a&e\\c&f\end{bmatrix}}}
det (A )=af -cd .
Tìm nghiệm số [ sửa ]
x
=
X
A
;
y
=
Y
A
{\displaystyle x={\frac {X}{A}}\;\;;y={\frac {Y}{A}}}
x
=
e
d
−
b
f
a
d
−
b
c
;
y
=
a
f
−
c
e
a
d
−
b
c
{\displaystyle x={\frac {ed-bf}{ad-bc}}\;\;;y={\frac {af-ce}{ad-bc}}}
