Sách đại số/Phép toán Phương trình đại số

Phép toán tìm các giá trị của biến số (nghiệm số) sao cho giá trị của phương trình bằng không

$f(x)=0$

Thí dụ

Giải phương trình đại số

$2x+4=8$

Từ trên

$x+{\frac {4}{2}}={\frac {8}{2}}$

$x={\frac {8}{2}}-{\frac {4}{2}}=4-2=2$

Nghiệm số $x=2$ thỏa mản phương trình $2x+4=8$ vì $2\times 2+4=8$

Giải Phương trình đường thẳng

Dạng tổng quát

$ax+b=c$

Nghiệm Phương trình đường thẳng

$x+{\frac {b}{a}}={\frac {c}{a}}$

$x={\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}$

Giải Phương trình đạo hàm

Phương trình đạo hàm bậc n là một phương trình giải tích có dạng tổng quát

$a_{n}f^{n}(t)+a_{n-1}f^{n-1}(t)+...+a_{o}f(t)=0$

Giải phương trình đạo hàm bậc n

Dạng tổng quát

Phương trình đạo hàm bậc n tổng quát có dạng tổng quát

$af^{n}(t)+bf(t)=0$

Giải phương trình

$f^{n}(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)$

$sf(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)$

$s=\pm j\omega$

$s=-\alpha$

Với

$\omega =n{\sqrt {\frac {b}{a}}}$ . n ≥ 2

$\alpha ={\frac {b}{a}}$ . n = 1

Nghiệm phương trình

$f(t)=Ae^{\pm j\omega t}=A\sin \omega t$ với n ≥ 2

$f(t)=Ae^{-\alpha t}$ với n =1

Ứng dụng

• LC nối tiếp

Giải phương trình đạo hàm bậc 2

Dạng tổng quát

Phương trình đạo hàm bậc 2 có dạng tổng quát

$af^{''}(t)+bf^{'}(t)+cf(t)=0$

Giải phương trình

$a{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)+{\frac {d}{dt}}f(t)+cf(t)=0$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=-{\frac {b}{a}}{\frac {d}{dt}}f(t)-{\frac {c}{a}}f(t)$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=-2\alpha {\frac {d}{dt}}f(t)-\beta f(t)$

Cho nghiệm phương trình

Với $\alpha =\beta$	1 nghiệm số thực	$f(t)=Ae^{-\alpha t}$
Với $\alpha >\beta$	2 nghiệm số thực	$f(t)=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )t}$
Với $\alpha <\beta$	2 nghiệm số phức	$f(t)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )\sin \omega t$

Với

$A(\alpha )=Ae^{-\alpha t}$

$\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}$

$\beta ={\frac {c}{a}}$

$\alpha ={\frac {b}{2a}}$

Với $\alpha =0$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=-\beta f(t)$

$f(t)=Ae^{{\sqrt {-\beta }}t}=Ae^{\pm j\omega t}=A\sin \omega t$

$\beta ={\frac {1}{T}}$

$T=LC$

Ứng dụng

• RLC nối tiếp

Giải phương trình đạo hàm bậc nhứt

Dạng tổng quát

Phương trình đạo hàm bậc nhứt có dạng tổng quát như sau

$af^{'}(t)+bf(t)=0$

Giải phương trình

$a{\frac {d}{dt}}f(t)+bf(t)=0$

${\frac {d}{dt}}f(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)$

$\int {\frac {d}{f(t)}}f(t)=-{\frac {b}{a}}\int \ dt$

$Lnf(t)=-{\frac {b}{a}}t+c$

$f(t)=e^{-{\frac {b}{a}}t+c}$

$f(t)=Ae^{-{\frac {b}{a}}t}$

Nghiệm của phương trình là một hàm số lũy thừa e giảm hay Hàm số giảm thiểu

$f(t)=Ae^{-{\frac {b}{a}}t}$

Thỏa mản Phương trình đạo hàm giảm thiểu

$af^{'}(t)+bf(t)=0$

Ứng dụng

• RC nối tiếp

• RL nối tiếp