Sách đại số/Đẳng thức

Đẳng Thức Đại Số là một biểu thức đại số bằng nhau có hai vế ngăn cách bởi dấu =

Đẳng thức tích hợp

• $(a+b)\times (a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$
• $(a-b)\times (a-b)=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab-b^{2}=(a-b)^{2}$
• $(a+b)\times (a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}+3(a^{2})b+3a(b^{2})+b^{3}=a^{3}+b^{3}$
• $(a-b)\times (a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-3(a^{2})b+3a(b^{2})-b^{3}=a^{3}-b^{3}$

Đẳng Thức thừa số

• $(a+b)^{2}=(a+b)\times (a+b)$
• $(a-b)^{2}=(a-b)\times (a-b)$
• $(a+b)^{3}=(a+b)(a^{2}+ab+b^{2})$
• $(a-b)^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

Từ trên, ta có,

• $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a-b)^{2}+2ab$

• $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

$(a+b)(a-b)=a^{2}+ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}$

• $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

• $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

Tổng kết

Từ trên ta có các các hằng đẳng thức đại số sau

1. $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
2. $(a-b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
3. $(a+b)^{3}=a^{3}+3(a^{2})b+3a(b^{2})+b^{3}$
4. $(a-b)^{3}=a^{3}-3(a^{2})b+3a(b^{2})-b^{3}$
5. $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a-b)^{2}+2ab$
6. $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
7. $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
8. $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

Dạng tổng quát lũy thừa n

$a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...+a^{2}.b^{n-3}-a.b^{n-2}+b^{n-1})$ với n là số lẻ thuộc tập N

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

$(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}=3(a+b)(b+c)(c+a)$