Hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng $y=x^{\alpha }$ với $\alpha \in \mathbb {R}$

Tập xác định

Tập xác định của hàm số trên phụ thuộc vào số mũ $\alpha$

• nếu $\alpha$ là số nguyên dương thì tập xác định là $D=\mathbb {R}$
• nếu $\alpha =0$ hoặc $\alpha$ là số nguyên âm thì tập xác định là $D=\mathbb {R} \setminus \{0\}$
• nếu $\alpha$ không phải là số nguyên thì tập xác định là $D=(0;+\infty )$

Đạo hàm

Hàm số $y=f(x)=x^{\alpha }$có đạo hàm tại mọi x > 0 và $y'=\alpha x^{\alpha -1}$ là đạo hàm cấp 1 của f(x)

Chiều biến thiên của hàm số lũy thừa với biến số dương

Xét hàm số $y=x^{\alpha }$ trên x>0:

• Với $\alpha >0$, hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$
• Với $\alpha <0$, hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$

Đồ thị

Đồ thị hàm số $y=x^{\alpha }$ trên x>0

Đồ thị hàm số lũy thừa với số mũ thực và biến số dương

Đồ thị hàm số $y=x^{\alpha }$trên x>0 có tính chất sau:

• Luôn đi qua điểm I(1;1)
• Nếu $\alpha <0$, đồ thị nhận trục Ox là tiệm cận ngang và trục Oy là tiệm cận đứng
• Có đường biểu diễn phụ thuộc vào số mũ $\alpha$

Đồ thị hàm số lũy thừa với số mũ nguyên

Đồ thị hàm số $y=f(x)=x^{n}$ với $n\in \mathbb {Z}$ có tính chất tương tự như trên với x>0. Ngoài ra, phần đồ thị với x<0 có tính đối xứng với phần đồ thị x>0 phụ thuộc vào n:

• Nếu n là số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục Oy do f(x) là hàm số chẵn
• Nếu n là số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O do f(x) là hàm số lẻ

Hàm số mũ

Hàm số $y=f(x)=a^{x}$ với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số a.

Đạo hàm

Hàm số $y=f(x)=a^{x}$ với a là số thực dương khác 1 thì có đạo hàm tại mọi x và $y'=a^{x}\ln(a)$ là đạo hàm cấp 1 của $f(x)$

Đặc biệt hàm số $y=e^{x}$ có đạo hàm cấp 1 là $y'=e^{x}$

Chiều biến thiên

Hàm số $y=f(x)=a^{x}$ đồng biến trên R nếu a>1 và nghịch biến trên R nếu 0<a<1.

Đồ thị

Đồ thị hàm số $y=a^{x}$

Đồ thị hàm số $y=f(x)=a^{x}$có những tính chất sau:

• Luôn đi qua điểm I(0;1) và điểm J(1;a)
• Đồ thị nằm phía trên trục Ox và nhận trục Ox làm tiệm cận ngang