Công thức toán học

Tủ sách mở Wikibooks
Buớc tưới chuyển hướng Bước tới tìm kiếm

Ký số[sửa]

Cách ghi số Ký tự số
Số La mã (I, V, X, L, C, D, M)
Số Ả Rập (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Số La mã[sửa]

Số la mã dùng ký tử để đại diện cho một giá trị

Ký tự Giá trị
I 1 (một)
V 5 (năm)
X 10 (mười)
L 50 (năm mươi)
C 100 (một trăm)
D 500 (năm trăm)
M 1000 (một nghìn)


Nhiều ký hiệu có thể được kết hợp lại với nhau để chỉ các số với các giá trị khác chúng. Thông thường người ta quy định các chữ số I, X, C, M, không được lặp lại quá ba lần liên tiếp; các chữ số V, L, D không được lặp lại quá một lần liên tiếp. Chính vì thế mà có 6 nhóm chữ số đặc biệt được nêu ra trong bảng sau:

Ký tự Giá trị
IV 4
IX 9
XL 40
XC 90
CD 400
CM 900

Số Ả Rập[sửa]

Số đại số[sửa]

Số đại số Ký hiệu Thí dụ
Số tự nhiên
Số nguyên
Phân số
Số phức
Số ảo

Phép toán số đại số[sửa]

Toán Ký Hiệu Công Thức Định Nghỉa
Toán cộng Toán Cộng hai số đại số
Toán trừ Toán Trừ hai số đại số
Toán nhân Toán Nhân hai số đại số
Toán chia Toán Chia hai số đại số
Toán lũy thừa Toán tìm tích n lần của chính số nhân
Toán căn Toán lủy thừa nghịch
Toán Log Toán Toán lủy thừa nghịch của một lủy thừa

Toán số nguyên[sửa]

Toán số nguyên không



Toán số nguyên dương













Toán số nguyên âm










Toán phân số[sửa]

+-X/ 2 phân số





Toán số lũy thừa[sửa]

Lũy thừa không
Lũy thừa âm

Lũy thừa của lũy thừa
Lũy thừa số nguyên âm
Với
. Với
Nhân chia 2 lũy thừa

Lũy thừa tích số
Lũy thừa thương số
Lũy thừa tổng số



...
Lũy thừa hiệu số



...

Toán số căn[sửa]

Căn của số 0
Căn của số 1
Căn của số -1
Căn và lũy thừa = a½
Vô căn
Ra căn
Lũy thừa của căn
Căn của căn
Căn của tích số =
Căn của thương số

Toán số log[sửa]

Log của lũy thừa
Log của tích số
Log của thương số
Đổi hệ số Log for any

Toán số phức[sửa]

Toán 2 số phức khác nhau







Toán 2 số phức nghịch nhau





Toán số ảo[sửa]

Toán số ảo


Số ảo dương



Số ảo âm



Lũy thừa số ảo


. n = 2m
. n = 2m + 1

Hàm số[sửa]

Hàm số Ký hiệu Thí dụ
Hàm số
Hàm số nhiều biến số





Hàm số lũy thừa



Hàm số lượng giác

Giải tích - Phép toán hàm số[sửa]

Hàm số

Thay đổi biến số



Tỉ lệ thay đổi biến số


Đạo hàm


Tích phân

Tích phân xác định

Tích phân bất định

Hoán chuyển tích phân

Hoán chuyển Laplace

Hoán chuyển Fourier

Phương trình đạo hàm giảm thiểu

Phương trình đạo hàm dao động sóng sin



Phương trình đạo hàm dao động sóng sin suy giảm


Đồ thị[sửa]

Đồ thị XY Cartesian-coordinate-system.svg


Đồ Thị XY là một Đồ Thị tạo bởi hai đường thẳng vuông góc với nhau Một đường thẳng ngang, gọi là Trục hoành hay Trục x
Một đường thẳng đứng, gọi là Trục tung hay Trục y . Hai đường t hẳng này cắt nhau tại một điểm gọi là Điểm gốc có tọa độ O (0,0)
Một điểm bất kỳ, A , trên Đồ Thị XY sẽ có một Tọa độ
A(X,Y) với chiều dài X và độ cao Y
Thí dụ Tọa độ của một điểm
A(5,7) có x = 5 và y = 7

Đồ thị Rθ Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg


Đồ Thị Vòng Tròn là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên vòng tròn có Bán kín R ở Góc độ θ . Khi một đường thẳng có độ dài R cắt đường chân trời (đường thẳng ngang) tại một điểm và tạo thành một góc θ. Trên mặt phẳng Rθ, đường bán kín R cắt đường chân trời tại một điểm gốc (R,0)
Trên mặt phẳng Rθ, Một điểm chuyển động theo vòng tròn sẻ có một tọa độ
A(R,θ) và được biểu hiện như sau

Biến đổi đồ thị XY sang đồ thị Rθ

Đồ thị hàm số[sửa]

Hàm số Định nghỉa Hình
Hàm số lượng giác
Sine Sin.svg
Cosine
Cosecant Csc.svg
Tangent Tan.svg
Cotangent Cot.svg
Đồ thị hàm số vòng tròn
Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg
Hàm số khác
Hàm số đường thẳng ngang y = c, where c = 3
Hàm số đường thẳng dọc

x = c, where c = 3
Hàm số đường thẳng nghiêng

Linear Function Graph.svg

Đường thẳng[sửa]

Hàm số đường thẳng Hình Hàm số toán
Hàm số đường thẳng ngang y = c, where c = 3
Hàm số đường thẳng dọc
x = c, where c = 3

Hàm số đường thẳng nghiêng
Linear Function Graph.svg


Theo hình học Euclid, qua bất kỳ 2 điểm
ta có thể vẻ một đường thẳng có các đặc tính sau
Độ dóc đường thẳng




Hàm số đường thẳng qua 2 điểm ) ,

Hàm số đường thẳng của một độ dóc qua một điểm
. Với
Hàm số đường thẳng có độ dóc và một điểm cắt trục tung
. Với


Phương trình đường thẳng nghiêng



Vector đường thẳng ngang
Vector đường thẳng dọc
Vector đường thẳng nghiêng
Đừờng dài đường thẳng ngang
Đừờng dài đường thẳng dọc
Đừờng dài đường thẳng nghiêng
Góc độ nghiêng của đường thẳng nghiêng

Tam giác vuông[sửa]

Rtriangle.svg


3 điểm .
3 cạnh .
3 góc .
Tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau tạo ra một góc vuông 90o


Chu vi

Diện tích
Thể tích
Tương quan các cạnh

Tương quan giửa cạnh và góc


Cos.svg
Sine Sin.svg
Cosine
Cosecant Csc.svg
Tangent Tan.svg
Cotangent Cot.svg
Cạnh ngang



Cạnh dọc
Cạnh nghiêng
Góc nghiêng
Vector đương thẳng ngang



Vector đương thẳng dọc
Vector đương thẳng nghiêng
Diện tích

Độ dóc




.
.

Cắt trục tung

Cắt trục hoành

Vòng tròn[sửa]

Circle-withsegments.svg Với
R - Bán kính vòng tròn
D - Đường kính vòng tròn
O - Tâm của đường tròn

Chu vi


Diện tích

hay

Thể tích


Hàm số hình tròn bán kính Z đơn vị

Hệ số thực

Hệ số phức

Hàm số hình tròn bán kính 1 đơn vị

Hệ số thực

Hệ số phức
Phương trình đường tròn


Dạng tổng quát


Góc[sửa]

Thể Loại Góc Hinh Định Nghỉa
Góc Ký hiệu Góc là Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo một Góc giửa hai đường thẳng
Góc đo bằng đơn vị Độ (o) hay đơn vị Radian , (Rad)
Góc Vuông Right angle.svg Góc Vuông là góc có giá trị bằng 90° . Tương đương với một phần tư của vòng tròn
Góc Nhọn Angle acute.png Góc Nhọn là góc có giá trị nhỏ hơn 90°
Góc Tù I Góc Tù là góc lớn hơn 90° nhưng nhỏ hơn 180°
Góc Bẹt Angle obtuse.png Góc Bẹt là góc có giá trị bằng 180° . Tương đương với một nửa vòng tròn
Góc Phụ U Góc Phụ góc lớn hơn 180° nhưng nhỏ hơn 360°.
Góc Đầy O Góc Đầy là góc có giá trị bằng 360° . Tương đương với một vòng tròn

Hàm số lượng giác[sửa]

Hàm số lượng giác cơ bản[sửa]

Hàm số lượng giác cơ bản

Hình

Cos.svg

Sin.svg

Tan.svg

Cotan proportional.svg

Sec.svg

Cosec proportional.svg

Cạnh tam giác vuông







Số phức



Chuổi số cộng





Chuổi số tích



Giải tích


Đẳng thức lượng giác cơ bản[sửa]

Đẳng thức thương lượng giác



Đẳng thức lượng giác nghịch







Đẳng thức Pytago

Các đẳng thức của vòng tròn đơn vị


Đẳng thức Tổng và hiệu của góc






Công thức hạ bậc






Công thức góc chia đôi


Dẫn đến:

Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:


Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:


Suy ra:

Nếu

thì:


Đẳng thức Biến tích thành tổng




Đẳng thức lượng giác nghịch đảo












Đẳng thức Dạng số phức



. Với

Đẳng thức Tích vô hạn






Đẳng thức Giải tích





Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của đạo hàm:






Đẳng thức Thường Dùng













Đẳng thức góc bội Bội hai


Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.



Công thức gíc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy.
Tổng quát
Nếu Tnđa thức Chebyshev bậc n thì


công thức de Moivre:


Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:


Hay theo công thức hồi quy:



Bội ba
Ví dụ của trường hợp n = 3:

Chuổi Số


Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin−1 hay cos−1 thay cho arcsin và arccos. Việc dùng ký hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với hàm mũ của hàm lượng giác.
Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:





Tích Phân


Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.




Số Phức


Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biến phức:

Tuần hoàn


Đối xứng


Tịnh tiến



Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

với