Công thức toán

Tủ sách mở Wikibooks
Buớc tưới chuyển hướng Bước tới tìm kiếm

Mục lục

Đại số[sửa]

Số đại số[sửa]

Số tự nhiên
Số chẳn
Số lẻ
Số nguyên tố
Số nguyên

Phân số =
Số phức
Số ảo
Số nghịch đảo của số a Số nghịch đảo của số 5 ,
Số hửu tỉ
Số vô tỉ

Phép toán số đại số[sửa]

Toán Ký Hiệu Công Thức Định Nghỉa
Toán cộng Toán Cộng hai số đại số
Toán trừ Toán Trừ hai số đại số
Toán nhân Toán Nhân hai số đại số
Toán chia Toán Chia hai số đại số
Toán lũy thừa a nhân với chính nó n lần Toán tìm tích n lần của chính số nhân
Toán căn nếu có Toán lủy thừa nghịch
Toán Log Nếu có Toán Toán lủy thừa nghịch của một lủy thừa


Toán cộng[sửa]

Phép toán kết hợp một số lượng với một số lượng khác. Toán cộng có ký hệu + . Khi có số đại số a và b, phép toán cộng 2 số được viết nhu sau

Với

. Số cộng
. Số bị cộng
. Toán cộng
. Tổng số

Thí dụ

Luật toán cộng

  1. Giao hoán .
  2. Phân phối .

Công thức toán cộng

  • Toán cộng số nguyên
  • Toán cộng phân số
  • Toán cộng số ảo
  • Toán cộng số phức

Toán trừ[sửa]

Phép toán lấy đi một số lượng từ một số lượng . Toán trừ có ký hệu - . Khi có số đại số a và b, phép toán trừ 2 số được viết nhu sau

Với

. Số trừ
. Số bị trừ
. Toán trừ
. Hiệu số

Thí dụ

Luật toán trừ


Công thức toán trừ

  • Toán trừ số nguyên
  • Toán trừ phân số
  • Toán trừ số ảo
  • Toán trừ số phức

Toán nhân[sửa]

Phép toán kết hợp số đại số đồng dạng. Toán nhân có ký hệu x . Khi có số đại số a và b, phép toán nhân 2 số được viết nhu sau

Với

. Số nhân
. Số bị nhân
. Toán nhân
. Tích số

Thí dụ Số đồng dạng

Số không đồng dạng

Luật toán nhân

  • Giao hoán
  • Phân phối

Công thức toán nhân

  • Nhân nghịch đảo
  • Toán nhân số nguyên
  • Toán nhân phân số
  • Toán nhân số ảo
  • Toán nhân số phức

Toán chia[sửa]

Phép toán cho biết tỉ lệ của 2 số lượng. Toán nhân có ký hệu / . Khi có số đại số a và b, phép toán chia 2 số được viết nhu sau

Từ trên

Với

. Số chia
. Số bị chia
. Toán chia
. Thương số

Thí dụ

Luật toán chia

Luật toán chia Định nghỉa Công thức
Luật toán chia cho 0 Bất kỳ số đại số chia cho 0 đều cho số vô tận
Luật toán chia cho 1 Bất kỳ số đại số chia cho 1 đều cho chính số đó
Luật toán chia cho 2 Bất ký một bội số của 2 đều chia hết cho 2
Luật toán chia cho 10 Bất kỳ số đại số chia cho 10 đều cho
Luật toán chia một số cho chính nó Bất kỳ một số đại số chia cho chính nó đều cho số 1
Luật toán chia một số cho số nghịch đảo Bất kỳ một số đại số chia cho chính nó đều cho số 1


Toán chia hết Phép toán chia một số cho một số khác không có số dư, được gọi là Phép toán chia hết có thể biểu diển bằng phương trình sau

. Với số dư bằng không

Vì vậy,

Toán chia không hết Phép toán chia một số cho một số khác với số dư khác không, được gọi là phép Toán chia không hết có thể biểu diển bằng phương trình sau

. Với số dư khác không

Với

. Số chia
. Số bị chia
. Toán chia
. Thương số
. Số dư

Thí dụ 4 chia cho 2 cho thương số 2 không có số dư . 5 chia cho 2 cho thương số 2 có số dư bằng 1

. r=0 .
. r=1 .

Công thức toán chia

  • Toán chia số nguyên
  • Toán chia 0 và 1
  • Toán chia phân số
  • Toán chia số ảo
  • Toán chia số phức


Lủy Thừa[sửa]

Lủy thừa của một số được định nghìa là tích của số đó nhân với chính nó n lần . Lủy thừa của một số có ký hiệu

Luật toán lủy thừa

Lủy thừa không
Lủy thừa 1
Lủy thừa của số không
Lủy thừa của số 1
Lủy thừa trừ
Lủy thừa phân số
Lủy thừa phân số


Cộng trừ nhân chia 2 lủy thừa

Lủy thừa của số nguyên âm

Với .
. Với

Lủy thừa của số nguyên dương

Lủy thừa của lủy thừa

Lủy thừa của tích hai số

Lủy thừa của thương hai số

Lủy thừa của căn

Lủy thừa của tổng hai số

Lủy thừa của hiệu hai số



Toán căn[sửa]

Toán căn là phép toán nghịch đảo của phép toán lủy thừa .

chỉ khi nào có một lủy thừa

Với

. Bậc căn
. Toán căn

Căn 2


Căn và lủy thừa

Căn của số nguyên

Căn lủy thừa

Căn thương số

Căn tích số

=

Vô căn

Ra căn

Toán Log[sửa]

Phép toán đại số tìm Log của một số theo công thức sau

khi có

Thí dụ

Phép toán chỉ đúng khi có
Phép toán chỉ đúng khi có

Viết tắc

Phép toán Log

Log của tích số

Log của thương số

Log của lủy thừa

Đổi nền log

Biểu thức đại số[sửa]

Biểu thức đại số tạo từ nhiều đơn thức đại số cùng với các phép toán đại số . Thí dụ như

Một biểu thức đại số tạo từ

Các đơn thức đại số sau , ,
Và các phép toán sau + , -

Đẳng thức đại số đại diện cho 2 biểu thức đại số bằng nhau . Thí dụ

Hằng đẳng thức đại số[sửa]

Đẳng thức đại số đúng trong mọi trường h+.p

Bất đẳng thức đại số[sửa]

bất đẳng thức đại số đại diện cho 2 biểu thức đại số không bằng nhau . Thí dụ

Phép toán biểu thức đại số[sửa]

Thứ tự thực thi phép toán đại số như sau

  1. Ngoặc . {} , [] , ()
  2. Lũy thừa . a^n
  3. Nhân, chia . X , /
  4. Công, trừ. + , -

Thí dụ

Hàm số[sửa]

Ký hiệu toán[sửa]

Hàm số nhiều biến số[sửa]

Hàm số 1 biến số 2 biến số 3 biến số
Ký hiệu
Thí dụ

Công thức toán của hàm số[sửa]

Hàm số Công thức toán
Hàm số đường thẳng
Hàm số parabol
Hàm số lũy thừa e
Hàm số vòng tròn
Hàm số lượng giác
Hàm số lượng giác ngược

Đồ thị hàm số[sửa]

Ký hiệu hàm số đại số
Hàm số đại số nhiều biến số


1 biến số .
2 biến số .
3 biến số .

Hàm số đường thẳng ngang
Hàm số đường thẳng dọc
Hàm số đường thẳng nghiêng
Linear Function Graph.svg






Hàm số đường thẳng

. Với ()
. Với ()

Hàm số vòng tròn
Circle-withsegments.svg


Hàm số đường tròn có bán kín Z đơn vị


Hàm số đường tròn có bán kín 1 đơn vị

Hàm số Sine
Sin.svg
Hàm số Cosine
Cos.svg
Hàm số Tangent
Tan.svg
Hàm số Cotangent
Cot.svg
Hàm số Secant
Sec.svg
Hàm số Cosecant
Csc.svg

Phương trình đại số[sửa]

Phương trình đường thẳng
Phương trình vòng tròn
Phương trình vòng tròn số thực


Phương trình vòng tròn số phức

Phương trình lũy thừa
Phương trình lũy thừa bật nhứt


Phương trình lũy thừa bật hai

Giải tích - Phép toán hàm số[sửa]

Phép toán thực thi trên hàm số

Hàm số

Thay đổi biến số



Tỉ lệ thay đổi biến số


Đạo hàm


Tích phân

Tích phân xác định

Tích phân bất định

Hoán chuyển Laplace




Hoán chuyển Fourier




Phương trình đạo hàm giảm thiểu



Phương trình đạo hàm dao động sóng sin




Phương trình đạo hàm dao động sóng sin suy giảm



Biến đổi hàm số[sửa]

Phép toán này được ứng dụng nhiều trong việc tìm độ dóc của đường thẳng nghiêng

. Với
. Với

Limit[sửa]

Luật toán giải tích Limit

Hàm số Limit

Thí dụ

Đạo hàm[sửa]

Phép toán giải tích tìm độ dóc của một hình có thể biểu diển dưới dạng hàm số

Ký hiệu Giá trị Dạng khác
Hàm số lũy thừa Đạo hàm hàm số
Hàm số lượng giác thuận Đạo hàm hàm số
Hàm số lượng giác thuận Đạo hàm hàm số

Tích phân[sửa]

Integral as region under curve.png

Tích phân là một phép toán giải tích tìm diện tích dưới hình của một hàm số toán f(x) . Có hai dạng tích phân

Tích phân xác định Tìm tích phân của hàm số trong một miền xác định
Tích phân bất định Tìm tích phân của hàm số trong một miền không xác định

Ứng dụng

Vận tốc , v Gia tốc , a Đường dài , s

Hoán chuyển tích phân[sửa]

Hoán chuyển Hoán chyển Laplace Hoán chyển Fourier

Phương trình đạo hàm[sửa]

Phương trình đạo hàm Dạng phương trình tổng quát Nghiệm phương trình

Phương trình đạo hàm giảm thiểu

Phương trình đạo hàm dao động sóng sin



Phương trình đạo hàm dao động sóng sin suy giảm


Hình học[sửa]

Đường thẳng[sửa]

Hàm số đường thẳng[sửa]

Mọi đường thẳng đều có thể biểu diển bằng một hàm số toán đại số

Hàm số đường thẳng ngang
Hàm số đường thẳng dọc
Hàm số đường thẳng nghiêng


Qua 2 điểm , ta có thể vẻ đường thẳng có độ dóc a



Phương trình đường thẳng[sửa]

Phương trình đường thẳng nghiêng



Vector đường thẳng[sửa]

Vector đường thẳng ngang đường thẳng dọc đường thẳng nghiêng
Vector đường thẳng










Đường dài đường thẳng








Hình[sửa]

Tam giác vuông[sửa]

Rtriangle.svg


3 điểm .
3 cạnh .
3 góc .
Tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau tạo ra một góc vuông 90o


Chu vi

Diện tích
Thể tích
Tương quan các cạnh

Tương quan giửa cạnh và góc


Cos.svg
Sine Sin.svg
Cosine
Cosecant Csc.svg
Tangent Tan.svg
Cotangent Cot.svg
Cạnh ngang



Cạnh dọc
Cạnh nghiêng
Góc nghiêng
Vector đương thẳng ngang



Vector đương thẳng dọc
Vector đương thẳng nghiêng
Diện tích

Độ dóc




.
.

Cắt trục tung

Cắt trục hoành

Hình tròn[sửa]

Circle-withsegments.svg Với
R - Bán kín vòng tròn
D - đường kín vòng tròn
O - Tâm điểm của vòng tròn


Chu vi

Diện tích
hay
Thể tích

Hình tròn hệ số thực Circle-withsegments.svg
Bán kín Z đơn vị (R=Z)

Bán kín 1 đơn vị (R=1)
Hình tròn hệ số phức Circle-withsegments.svg
Bán kín Z đơn vị (R=Z)



Bán kín 1 đơn vị (R=1)


Phương trình hình tròn
Hệ số thực


Hệ số phức

Lượng giác[sửa]

Hàm số lượng giác[sửa]

Hàm số lượng giác hình tròn[sửa]

. Hình tròn bán kín 1 đơn vị hệ số thực ,
. Hình tròn bán kín Z đơn vị hệ số phức,

Hàm số lượng giác cơ bản[sửa]

Hàm Lượng Giác Ký hiệu Hình
Sine Sin.svg
Cosine Cos.svg
Tangent Tan.svg
Cotangent Cot.svg
Secant Sec.svg
Cosecant Csc.svg

Đẳng thức lượng giác[sửa]

Đẳng thức thương lượng giác [sửa]

Đẳng thức lượng giác nghịch[sửa]

Đẳng thức lượng giác Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến[sửa]

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

Tuần hoàn (k nguyên) Đối xứng Tịnh tiến

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

với

Đẳng thức Pytago[sửa]

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

Đẳng thức Tổng và hiệu của góc[sửa]

với

Công thức hạ bậc[sửa]

Công thức góc chia đôi[sửa]

Dẫn đến:

Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

Suy ra:

Nếu

thì:

      and     and  

Đẳng thức Biến tích thành tổng[sửa]

  1. Đẳng thức Biển tổng thành tích

Đẳng thức lượng giác nghịch đảo[sửa]

Đẳng thức Dạng số phức[sửa]

với

Đẳng thức Tích vô hạn[sửa]

Đẳng thức Giải tích[sửa]

Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng radian

Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của đạo hàm:

Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại danh sách tích phân với hàm lượng giácdanh sách tích phân với hàm lượng giác ngược.

Đẳng thức Thường Dùng[sửa]

Đẳng thức góc bội[sửa]

Bội hai[sửa]

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.

Công thức gíc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy.

Nếu Tnđa thức Chebyshev bậc n thì

công thức de Moivre:

Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

Hay theo công thức hồi quy:

Bội ba[sửa]

Ví dụ của trường hợp n = 3:


Chuổi Số[sửa]

Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin−1 hay cos−1 thay cho arcsin và arccos. Việc dùng ký hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với hàm mũ của hàm lượng giác.

Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:

Tích Phân[sửa]

Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.

Số Phức[sửa]

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biến phức: