Công thức toán

Đại số

Số đại số

Số tự nhiên	$N$	$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Số chẳn	$2N$	$2,4,6,8$
Số lẻ	$2N+1$	${1,3,5,7,9}$
Số nguyên tố	$P$	${1,3,5,7}$
Số nguyên	$I$	$-I=-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9$ $0$ $+I=+1,+2,+3,+4,+5,+6,+7,+8,+9$
Phân số	${\frac {a}{b}}$	${\frac {a}{b}}$ = ${\frac {1}{2}}=0.5$
Số phức	$Z$	$Z=a+jb=2+j3$
Số ảo	$j$	$j={\sqrt {-1}}$
Số nghịch đảo	$1/a$ của số a	Số nghịch đảo của số 5 , $1/5$
Số hửu tỉ	$a/b=0.xxxxxx$	$1/3=0.33333$
Số vô tỉ		$\pi =3.1415...$

Phép toán số đại số

Toán	Ký Hiệu	Công Thức	Định Nghỉa
Toán cộng	$+$	$A+B$	Toán Cộng hai số đại số
Toán trừ	$-$	$A-B$	Toán Trừ hai số đại số
Toán nhân	$x$	$A\times B$	Toán Nhân hai số đại số
Toán chia	$/$	$A/B$	Toán Chia hai số đại số
Toán lũy thừa	$a^{n}$	$a^{n}=a\times a\times a...$ a nhân với chính nó n lần	Toán tìm tích n lần của chính số nhân
Toán căn	${\sqrt {}}$	${\sqrt {a}}=b$ nếu có $b^{n}=a$	Toán lủy thừa nghịch
Toán Log	$Log,Ln$	$Loga=b$ Nếu có $10^{b}=a$	Toán Toán lủy thừa nghịch của một lủy thừa

Toán cộng

Phép toán kết hợp một số lượng với một số lượng khác. Toán cộng có ký hệu + . Khi có số đại số a và b, phép toán cộng 2 số được viết nhu sau

$a+b=c$

Với

$a$ . Số cộng

$b$ . Số bị cộng

$+$ . Toán cộng

$c$ . Tổng số

Thí dụ

$1+1=2$

$1+2=3$

$1+3=4$

Luật toán cộng

1. Giao hoán . $a+b=b+a$
2. Phân phối . $a+b+c=(a+b)+c=(a+b)+c$

Công thức toán cộng

• Toán cộng số nguyên

$a+0=a$

$a+a=2a$

$a-a=0$

• Toán cộng phân số

$a+{\frac {b}{c}}={\frac {ac+b}{c}}$

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$

• Toán cộng số ảo

$j+0=j$

$j+j=2j$

$j-j=0$

$-j+0=-j$

$-j+j=0$

$-j-j=-2j$

• Toán cộng số phức

$(a+jb)+(c+jd)=(a+b)+j(c+d)$

$(a+jb)+(a-jb)=2a$

Toán trừ

Phép toán lấy đi một số lượng từ một số lượng . Toán trừ có ký hệu - . Khi có số đại số a và b, phép toán trừ 2 số được viết nhu sau

$a-b=c$

Với

$a$ . Số trừ

$b$ . Số bị trừ

$-$ . Toán trừ

$c$ . Hiệu số

Thí dụ

$2-1=1$

$2-2=0$

$2-3=-1$

Luật toán trừ

Công thức toán trừ

• Toán trừ số nguyên

$a-0=a$

$a-a=0$

$a-(-a)=2a$

• Toán trừ phân số

$a-{\frac {b}{c}}={\frac {ac-b}{c}}$

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}$

• Toán trừ số ảo

$j-0=j$

$j-j=0$

$j-(-j)=2j$

$-j-0=-j$

$-j-j=-2j$

$-j-(-j)=0$

• Toán trừ số phức

$(a+jb)-(c+jd)=(a-c)+j(b-d)$

$(a+jb)-(a-jb)=-2jb$

Toán nhân

Phép toán kết hợp số đại số đồng dạng. Toán nhân có ký hệu x . Khi có số đại số a và b, phép toán nhân 2 số được viết nhu sau

$a\times b=c$

Với

$a$ . Số nhân

$b$ . Số bị nhân

$x$ . Toán nhân

$c$ . Tích số

Thí dụ Số đồng dạng

• $2\times 2=4=2+2$

Số không đồng dạng

• $3\times 5=15$

Luật toán nhân

• Giao hoán

$a\times b=b\times a$

• Phân phối

$a\times b\times c=(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

Công thức toán nhân

• Nhân nghịch đảo

$a\times {\frac {1}{a}}=1$

• Toán nhân số nguyên

$a\times 0=0$

$a\times a=a^{2}$

$a\times -a=-a^{2}$

• Toán nhân phân số

$a\times {\frac {b}{c}}={\frac {ab}{c}}$

${\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$

• Toán nhân số ảo

$j\times 0=0$

$j\times j=j^{2}$

$j\times -j=-j^{2}$

$-j\times 0=0$

$-j\times j=-j^{2}$

$-j\times -j=j^{2}$

• Toán nhân số phức

$(a+jb)\times (c+jd)=(ac+bd)+j(bc+ad)$

$(a+jb)\times (a-jb)=a^{2}-b^{2}$

Toán chia

Phép toán cho biết tỉ lệ của 2 số lượng. Toán nhân có ký hệu / . Khi có số đại số a và b, phép toán chia 2 số được viết nhu sau

$a/b={\frac {a}{b}}=c$

Từ trên

$a=b\times c$

Với

$a$ . Số chia

$b$ . Số bị chia

$/$ . Toán chia

$c$ . Thương số

Thí dụ

• $5/5=1$
• $6/5=1.2$
• $4/5=0.8$
• $1/3=0.333333$

Luật toán chia

Luật toán chia	Định nghỉa	Công thức
Luật toán chia cho 0	Bất kỳ số đại số chia cho 0 đều cho số vô tận	${\frac {a}{0}}=00$
Luật toán chia cho 1	Bất kỳ số đại số chia cho 1 đều cho chính số đó	${\frac {a}{1}}=a$
Luật toán chia cho 2	Bất ký một bội số của 2 đều chia hết cho 2	${\frac {2n}{2}}=n$
Luật toán chia cho 10	Bất kỳ số đại số chia cho 10 đều cho	${\frac {a}{10}}=a\times {\frac {1}{10}}=0.1a$
Luật toán chia một số cho chính nó	Bất kỳ một số đại số chia cho chính nó đều cho số 1	${\frac {a}{a}}=1$
Luật toán chia một số cho số nghịch đảo	Bất kỳ một số đại số chia cho chính nó đều cho số 1	$a/{\frac {1}{a}}=a\times a=a^{2}$

Toán chia hết Phép toán chia một số cho một số khác không có số dư, được gọi là Phép toán chia hết có thể biểu diển bằng phương trình sau

${\frac {a}{b}}=c$ . Với số dư bằng không

Vì vậy,

$a=bc$

Toán chia không hết Phép toán chia một số cho một số khác với số dư khác không, được gọi là phép Toán chia không hết có thể biểu diển bằng phương trình sau

${\frac {a}{b}}+r=c$ . Với số dư khác không

$a=bc+r$

Với

$a$ . Số chia

$b$ . Số bị chia

$/$ . Toán chia

$c$ . Thương số

$r$ . Số dư

Thí dụ 4 chia cho 2 cho thương số 2 không có số dư . 5 chia cho 2 cho thương số 2 có số dư bằng 1

${\frac {4}{2}}=2$ . r=0 . $4=2\times 2+0$

${\frac {5}{2}}=2$ . r=1 . $5=2\times 2+1$

Công thức toán chia

• Toán chia số nguyên

$a/0=00$

$a/a=1$

$a/-a=-1$

• Toán chia 0 và 1

$a/0=00$

$a/1=a$

$a/-1=-a$

• Toán chia phân số

$a/{\frac {b}{c}}=a\times {\frac {c}{b}}={\frac {ac}{b}}$

${\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$

• Toán chia số ảo

$j/0=00$

$j/1=j$

$j/j=1$

$j/-j=-1$

$-j/0=00$

$-j/1=-j$

$-j/j=-1$

$-j/-j=1$

• Toán chia số phức

${\frac {(a+jb)}{(c+jd)}}={\frac {(a+jb)(c+jd)}{(c+jd)(c+jd)}}={\frac {(ac+bd)+j(ad+bc)}{(c+jd)^{2}}}$

${\frac {(a+jb)}{(a-jb)}}={\frac {(a+jb)(a-jb)}{(a-jb)(a-jb)}}={\frac {a^{2}-b^{2}}{(a-jb)^{2}}}$

Lủy Thừa

Lủy thừa của một số được định nghìa là tích của số đó nhân với chính nó n lần . Lủy thừa của một số có ký hiệu $a^{n}$

$a^{n}=a\times a\times a\times a...\times a$

Luật toán lủy thừa

Lủy thừa không	$a^{0}=1$
Lủy thừa 1	$a^{1}=a$
Lủy thừa của số không	$0^{n}=Error$
Lủy thừa của số 1	$1^{n}=1$
Lủy thừa trừ	$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$
Lủy thừa phân số	$a^{\frac {1}{n}}=n{\sqrt {a}}$
Lủy thừa phân số	$a^{\frac {m}{n}}=n{\sqrt {a^{m}}}$

Cộng trừ nhân chia 2 lủy thừa

$a^{m}+a^{n}=a^{m}(1+a^{n-m})$

$a^{m}-a^{n}=a^{m}(1-a^{n-m})$

$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$

$a^{m}/a^{n}=a^{m-n}$

Lủy thừa của số nguyên âm

$(-a)^{n}=a^{n}$ Với $n=2m$.

$(-a)^{n}=-a^{n}$ . Với $n=2m+1$

Lủy thừa của số nguyên dương

$(+a)^{n}=a^{n}$

Lủy thừa của lủy thừa

$(a^{m})^{n}=(a^{n})^{m}=a^{mn}$

Lủy thừa của tích hai số

$(ab)^{m}=a^{m}\times b^{m}$

Lủy thừa của thương hai số

${\frac {a}{b}}^{m}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}$

Lủy thừa của căn

$({\sqrt {a^{n}}})^{m}=a^{\frac {m}{n}}$

Lủy thừa của tổng hai số

$(a+b)^{n}=\underbrace {(a+b)\times (a+b)\cdots \times (a+b)} _{n}=a^{n}+C_{n-1}a^{n-1}b+...+C_{1}ab^{n-1}+b^{n}$

$(a+b)^{0}=1$

$(a+b)^{1}=a+b$

$(a+b)^{2}=(a+b)\times (a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}$

$(a+b)^{3}=(a+b)\times (a+b)\times (a+b)=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

Lủy thừa của hiệu hai số

$(a-b)^{n}=\underbrace {(a-b)\times (a-b)\cdots \times (a-b)} _{n}$

$(a-b)^{0}=1$

$(a-b)^{1}=a+b$

$(a-b)^{2}=(a-b)\times (a-b)=a^{2}-2ab+b^{2}$

$(a-b)^{3}=(a-b)\times (a-b)\times (a-b)=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

Toán căn

Toán căn là phép toán nghịch đảo của phép toán lủy thừa .

$n{\sqrt {a}}=b$ chỉ khi nào có một lủy thừa $a=b^{n}$

Với

$n$ . Bậc căn

${\sqrt {}}$ . Toán căn

Căn 2

$2{\sqrt {a}}=a^{\frac {1}{2}}={\sqrt {a}}$

Căn và lủy thừa

$n{\sqrt {a}}=a^{\frac {1}{n}}$

Căn của số nguyên

${\sqrt {0}}=Error$

${\sqrt {1}}=1$

${\sqrt {-1}}=j$

Căn lủy thừa

${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{mn}]{a}}=a^{\frac {1}{mn}}$

Căn thương số

${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$

Căn tích số

${\sqrt {ab}}$ = ${\sqrt {a}}$ ${\sqrt {b}}$

Vô căn

$a{\sqrt {a}}={\sqrt {a^{2}\times a}}={\sqrt {a^{3}}}$

Ra căn

${\sqrt {a^{n}}}=a{\sqrt {a^{n-2}}}$

Toán Log

Phép toán đại số tìm Log của một số theo công thức sau

$Log_{a}b=c$ khi có $a^{c}=b$

Thí dụ

$Log_{10}100=2$

Phép toán chỉ đúng khi có $10^{2}=100$

$Log_{2}4=2$

Phép toán chỉ đúng khi có $2^{2}=4$

Viết tắc

$Log=Log_{10}$

$Ln=Log_{2}$

Phép toán Log

$Log(1)=0$

$Log_{n}(A)^{n}=A$

$B^{Log_{B}(A)}=A$

Log của tích số

$Log(AB)=LogA+LogB$

Log của thương số

$Log({\frac {A}{B}})=LogA-LogB$

Log của lủy thừa

$Log(A^{n})=nLogA$

Đổi nền log

$Log_{a}x={\frac {Logx}{Loga}}$

Biểu thức đại số

Biểu thức đại số tạo từ nhiều đơn thức đại số cùng với các phép toán đại số . Thí dụ như

$2x+5y-3$

Một biểu thức đại số $2x+5y+3$ tạo từ

Các đơn thức đại số sau $2x$, $5y$, $3$

Và các phép toán sau + , -

Đẳng thức đại số đại diện cho 2 biểu thức đại số bằng nhau . Thí dụ

$2x+5=5+2x$

Hằng đẳng thức đại số

Đẳng thức đại số đúng trong mọi trường h+.p

1. $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
2. $(a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$
3. $(a-b)(a-b)=a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$
4. $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a-b)^{2}+2ab={\frac {(a+b)^{2}+(a-b)^{2}}{2}}$
5. $4ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{2}}$

Bất đẳng thức đại số

bất đẳng thức đại số đại diện cho 2 biểu thức đại số không bằng nhau . Thí dụ

$2x+5>7$

$2x+5<9$

Phép toán biểu thức đại số

Thứ tự thực thi phép toán đại số như sau

1. Ngoặc . {} , [] , ()
2. Lũy thừa . a^n
3. Nhân, chia . X , /
4. Công, trừ. + , -

Thí dụ

$A=2x+5y-3$

$B=52y-5$

$A+B=(2x+5y-3)+(52y-5)=2x+(5y+52y)+(-3-5)=2x+57y-8$

Hàm số

Ký hiệu toán

$f(x)=y$

Hàm số nhiều biến số

Hàm số	1 biến số	2 biến số	3 biến số
Ký hiệu	$f(x)=x$	$f(x,y)=xy$	$f(x,y,z)=xyz$
Thí dụ	$f(x)=x^{n}$	$f(x,y)=3x+4y$	$f(x,y,z)=3x+4y+5z$

Công thức toán của hàm số

Hàm số	Công thức toán
Hàm số đường thẳng	$f(x)=ax+b$
Hàm số parabol	$f(x)=ax^{2}+b$
Hàm số lũy thừa e	$f(x)=e^{x}$
Hàm số vòng tròn	$x^{2}+y^{2}=z^{2}$
Hàm số lượng giác	$\cos \theta ,\sin \theta ,\sec \theta ,\csc \theta ,\tan \theta ,\cot \theta$
Hàm số lượng giác ngược	$\cos ^{-1}\theta ,\sin ^{-1}\theta ,\sec ^{-1}\theta ,\csc ^{-1}\theta ,\tan ^{-1}\theta ,\cot ^{-1}\theta$

Đồ thị hàm số

Ký hiệu hàm số đại số	$f(x)=y$
Hàm số đại số nhiều biến số	1 biến số . $f(x)=y$ 2 biến số . $f(x,y)=R$ 3 biến số . $f(x,y,z)=V$
Hàm số đường thẳng ngang	$x=y$
Hàm số đường thẳng dọc	$y=x$
Hàm số đường thẳng nghiêng	$a={\frac {Y}{X}}={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}$ $Y=aX$ $y-y_{o}=a(x-x_{o})$ Hàm số đường thẳng $y=y_{o}+a(x-x_{o})$ $y=ax$ . Với ($x_{o}=0,y_{o}=0$) $y=ax+b$ . Với ($x_{o}=0,y_{o}=b$)
Hàm số vòng tròn	Hàm số đường tròn có bán kín Z đơn vị $X^{2}+Y^{2}=Z^{2}$ Hàm số đường tròn có bán kín 1 đơn vị $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$
Hàm số Sine	$\sin \theta$
Hàm số Cosine	$\cos \theta$
Hàm số Tangent	$\tan \theta$
Hàm số Cotangent	$\cot \theta$
Hàm số Secant	$\sec \theta$
Hàm số Cosecant	$\csc \theta$

Phương trình đại số

Phương trình đường thẳng	$ax+b=0$ $x=-{\frac {b}{a}}$
Phương trình vòng tròn	Phương trình vòng tròn số thực $x^{2}+y^{2}=0$ $x=\pm jy$ Phương trình vòng tròn số phức $x+jy=0$ $x=-jy$
Phương trình lũy thừa	Phương trình lũy thừa bật nhứt $ax+b=0$ $x=-{\frac {b}{a}}$ Phương trình lũy thừa bật hai $ax^{2}+bx+c=0$ $x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$

Giải tích - Phép toán hàm số

Phép toán thực thi trên hàm số

Hàm số	$y=f(x)$
Thay đổi biến số	$\Delta x=(x+\Delta x)-x$ $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$
Tỉ lệ thay đổi biến số	${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$
Đạo hàm	${\frac {df(x)}{dx}}=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$
Tích phân	Tích phân xác định $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F=F(b)-F(a)$ Tích phân bất định $\int f(x)dx=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum [f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}}]\Delta x=F(x)+C$
Hoán chuyển Laplace	${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$ ${\frac {d}{dt}}=s$ $\int dt={\frac {1}{s}}$
Hoán chuyển Fourier	${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$ ${\frac {d}{dt}}=j\omega$ $\int dt={\frac {1}{j\omega }}$
Phương trình đạo hàm giảm thiểu	${\frac {d}{dt}}f(t)=-{\frac {1}{T}}f(t)$ $f(t)=Ae^{-{\frac {t}{T}}}$
Phương trình đạo hàm dao động sóng sin	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=-{\frac {1}{T}}f(t)$ $f(t)=Ae^{({\sqrt {-{\frac {1}{T}}}})t}=Ae^{\pm j\omega t}=A\sin \omega t$ $\omega ={\sqrt {\frac {1}{T}}}$
Phương trình đạo hàm dao động sóng sin suy giảm	${\frac {d^{n}}{d^{t}}}f(t)=-{\frac {1}{T}}f(t)$ $f(t)=Ae^{-j\omega t}$ $\omega =n{\sqrt {\frac {1}{T}}}$

Biến đổi hàm số

Phép toán này được ứng dụng nhiều trong việc tìm độ dóc của đường thẳng nghiêng

$a={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta )-f(x)}{\Delta x}}$

$\Delta f(x)=a\Delta x$

$y-y_{o}=a(x-x_{o})$

$y=a(x-x_{o})+y_{o}$

$y=ax$ . Với $x_{o}=0,y_{o}=0$

$y=ax+b$ . Với $x_{o}=0,y_{o}=b$

Limit

Luật toán giải tích Limit

Hàm số	Limit
$f(x)\pm g(x)$	$\lim _{x\to c}f(x)\pm \lim _{x\to c}g(x)$
$f(x)\times g(x)$	$\lim _{x\to c}f(x)\times \lim _{x\to c}g(x)$
$kf(x)$	$k\lim _{x\to c}f(x)$
$n{\sqrt {f(x)}}$	$n{\sqrt {\lim _{x\to c}f(x)}}$

Thí dụ

$\lim _{x\to 0}x=0$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}=00$

$\lim _{x\to 00}x=00$

$\lim _{x\to 00}{\frac {1}{x}}=0$

Đạo hàm

Phép toán giải tích tìm độ dóc của một hình có thể biểu diển dưới dạng hàm số

Ký hiệu	Giá trị	Dạng khác
${\frac {df(x)}{dx}}=f^{'}(x)$	$\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$	$\lim _{h\to 0}\sum {\frac {\Delta f(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}\sum {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

Hàm số lũy thừa	Đạo hàm hàm số
$e^{x}$	$e^{x}$
$n^{x}$	$n^{x}Lnn$
$x^{n}$	$nx^{n-1}$
$x^{1}$	$x$
$c$	$0$
$Lnx$	${\frac {1}{x}}$
Hàm số lượng giác thuận	Đạo hàm hàm số
$\cos x$	$-\sin x$
$\sin x$	$\cos x$
$\tan x$	$\sec ^{2}x$
$\cot x$	$-\csc ^{2}x$
$\sec x$	$\sec x\tan x$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$
Hàm số lượng giác thuận	Đạo hàm hàm số
$\cos ^{-1}x$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\sin ^{-1}x$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\tan ^{-1}x$	${\frac {1}{1+x^{2}}}$
$\cot ^{-1}x$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\sec ^{-1}x$	${\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
$\csc ^{-1}x$	$-{\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Tích phân

Tích phân là một phép toán giải tích tìm diện tích dưới hình của một hàm số toán f(x) . Có hai dạng tích phân

Tích phân xác định	Tìm tích phân của hàm số trong một miền xác định	$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F=F(b)-F(a)$
Tích phân bất định	Tìm tích phân của hàm số trong một miền không xác định	$\int f(x)dx=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum [f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}}]\Delta x=F(x)+C$

Ứng dụng

Vận tốc , v	Gia tốc , a	Đường dài , s
$v(t)$	${\frac {d}{dt}}v(t)$	$\int v(t)dt$
$v$	$0$	$vt+c$
$t$	$1$	${\frac {t^{2}}{2}}+c$
$vt$	$v$	${\frac {vt^{2}}{2}}+c$
$vt+v_{o}$	$v$	${\frac {vt^{2}}{2}}+v_{o}t+c$

Hoán chuyển tích phân

Hoán chuyển	Hoán chyển Laplace	Hoán chyển Fourier
$f(t)$	${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$	${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$
${\frac {d}{dt}}$	$s$	$j\omega$
$\int dt$	${\frac {1}{s}}$	${\frac {1}{j\omega }}$

Phương trình đạo hàm

Phương trình đạo hàm	Dạng phương trình tổng quát	Nghiệm phương trình
Phương trình đạo hàm giảm thiểu	${\frac {d}{dt}}f(t)=-{\frac {1}{T}}f(t)$	$f(t)=Ae^{-{\frac {t}{T}}}$
Phương trình đạo hàm dao động sóng sin	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=-{\frac {1}{T}}f(t)$	$f(t)=Ae^{{\sqrt {-{\frac {1}{T}}}}t}=Ae^{\pm j\omega t}=A\sin \omega t$ $\omega ={\sqrt {\frac {1}{T}}}$
Phương trình đạo hàm dao động sóng sin suy giảm	${\frac {d^{n}}{d^{t}}}f(t)=-{\frac {1}{T}}f(t)$	$f(t)=Ae^{-j\omega t}$ $\omega =n{\sqrt {\frac {1}{T}}}$

Hình học

Đường thẳng

Hàm số đường thẳng

Mọi đường thẳng đều có thể biểu diển bằng một hàm số toán đại số

Hàm số đường thẳng ngang	$y=x$
Hàm số đường thẳng dọc	$x=y$
Hàm số đường thẳng nghiêng	Qua 2 điểm $(x_{o},y_{o})$ và $(x,y)$, ta có thể vẻ đường thẳng có độ dóc a $a={\frac {Y}{X}}={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}$ $y=a(x-x_{o})+y_{o}$ $y=ax.(x_{o}=0,y_{o}=0)$ $y=ax+b.(x_{o}=0,y_{o}=b)$

Phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng nghiêng

$ax+b=0$
$x+{\frac {b}{a}}=0$

$x=-{\frac {b}{a}}$

Vector đường thẳng

Vector	đường thẳng ngang	đường thẳng dọc	đường thẳng nghiêng
Vector đường thẳng	${\vec {X}}$	${\vec {Y}}$	${\vec {Z}}$
	$\nabla \cdot {\vec {Z}}$	$\nabla \times {\vec {Z}}$	$\nabla \cdot {\vec {Z}}+\nabla \times {\vec {Z}}$
	$X{\vec {i}}$	$Y{\vec {j}}$	$X{\vec {i}}+Y{\vec {j}}$
	$Z\cos \theta i$	$Z\cos \theta j$	$Z\cos \theta i+Z\sin \theta j$
Đường dài đường thẳng	$X=x-x_{o}$ $X=Z\cos \theta$	$Y=y-y_{o}$ $Y=Z\sin \theta$	$Z^{2}={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ $\theta =Tan^{-1}{\frac {Y}{X}}$ $Z\angle \theta ={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\angle Tan^{-1}{\frac {Y}{X}}$ $Z(\theta )=X(\theta )+Y(\theta )=Z(\cos \theta +\sin \theta )$

Hình

Tam giác vuông

	3 điểm . $A,B,C$ 3 cạnh . $AB,BC,CA$ 3 góc . $\angle A,\angle B,\angle C$ Tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau tạo ra một góc vuông 90o $\angle C=90^{o}$ ${\overline {AC}}\perp {\overline {CB}}$
Chu vi	$a+b+c$
Diện tích	${\frac {ba}{2}}$
Thể tích	$ab{\frac {h}{2}}$
Tương quan các cạnh	$Z^{2}=X^{2}+Y^{2}$
Tương quan giửa cạnh và góc	${\frac {X}{Z}}=\cos \theta$
Sine	${\frac {Y}{Z}}=\sin \theta$
Cosine	${\frac {1}{X}}=\sec \theta$
Cosecant	${\frac {1}{Y}}=\csc \theta$
Tangent	${\frac {X}{Y}}=\tan \theta$
Cotangent	${\frac {Y}{X}}=\cot \theta$
Cạnh ngang	$X$	$x-x_{o}$	$Z\cos \theta$	$\nabla \cdot {\vec {Z}}$
Cạnh dọc	$Y$	$y-y_{o}$	$Z\sin \theta$	$\nabla \times {\vec {Z}}$
Cạnh nghiêng	$Z={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$	${\sqrt {(x-x_{o})^{2}+(y-y_{o})^{2}}}$	${\sqrt {(Z\cos \theta )^{2}+(Z\sin \theta )^{2}}}$	${\sqrt {(\nabla \cdot {\vec {Z}})^{2}+(\nabla \times {\vec {Z}})^{2}}}$
Góc nghiêng	$\theta =\tan ^{-1}{\frac {Y}{X}}$	$\tan ^{-1}{\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}$	$\tan ^{-1}{\frac {Z\sin \theta }{Z\cos \theta }}$	$\tan ^{-1}{\frac {\nabla \times {\vec {Z}}}{\nabla \cdot {\vec {Z}}}}$
Vector đương thẳng ngang	${\vec {X}}=X{\vec {i}}$	$(x-x_{o}){\vec {i}}$	$Z\cos \theta {\vec {i}}$	$\nabla \cdot {\vec {Z}}$
Vector đương thẳng dọc	${\vec {Y}}=Y{\vec {i}}$	$(y-y_{o}){\vec {i}}$	$Z\cos \theta {\vec {i}}$	$\nabla \times {\vec {Z}}$
Vector đương thẳng nghiêng	${\vec {Z}}={\vec {X}}+{\vec {Y}}$	$(x-x_{o}){\vec {i}}+(y-y_{o}){\vec {j}}$	$(Z\cos \theta ){\vec {i}}+(Z\sin \theta ){\vec {j}}$	$\nabla \cdot {\vec {Z}}+\nabla \times {\vec {Z}}$
Diện tích	$s={\frac {1}{2}}XY$	$s={\frac {1}{2}}(x-x_{o})(y-y_{o})$
Độ dóc	$a={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}$	$y-y_{o}=a(x-x_{o})$ $y=a(x-x_{o})+y_{o}$ $y=ax$ . $x_{o}=0,y_{o}=0$ $y=ax+b$ . $x_{o}=0,y_{o}=b$
Cắt trục tung	$y=0$	$x=-{\frac {b}{a}}$
Cắt trục hoành	$x=0$	$y=b$

Hình tròn

	Với R - Bán kín vòng tròn D - đường kín vòng tròn O - Tâm điểm của vòng tròn Chu vi $C=d\pi =2r\pi$ Diện tích $A=r^{2}.\pi$ hay Thể tích $V=(d^{2}.\pi )/4$
Hình tròn hệ số thực		Bán kín Z đơn vị (R=Z) $X^{2}+Y^{2}=Z^{2}$ Bán kín 1 đơn vị (R=1) $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$
Hình tròn hệ số phức		Bán kín Z đơn vị (R=Z) $Z=X+jY$ $Z=z(\cos \theta +j\sin \theta )$ $Z=ze^{j\theta }$ Bán kín 1 đơn vị (R=1) $1={\frac {X+jY}{Z}}$ $1=(\cos \theta +j\sin \theta )$ $1=e^{j\theta }$
Phương trình hình tròn		Hệ số thực $X^{2}+Y^{2}=0$ $X=\pm jY$ Hệ số phức $X+jY=0$ $X=-jY$

Lượng giác

Hàm số lượng giác

Hàm số lượng giác hình tròn

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$ . Hình tròn bán kín 1 đơn vị hệ số thực , $R=1$

$\cos \theta +j\sin \theta =Z$ . Hình tròn bán kín Z đơn vị hệ số phức, $R=Z$

Hàm số lượng giác cơ bản

Hàm Lượng Giác	Ký hiệu	Hình
Sine	$\sin \theta$
Cosine	$\cos \theta$
Tangent	$\tan \theta$
Cotangent	$\cot \theta$
Secant	$\sec \theta$
Cosecant	$\csc \theta$

Đẳng thức lượng giác

Đẳng thức thương lượng giác

$\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$

$\cot(x)={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}$

Đẳng thức lượng giác nghịch

$\cos(x)={\frac {1}{\sec(x)}}$

$\sin(x)={\frac {1}{\csc(x)}}$

$\tan(x)={\frac {1}{\cot(x)}}$

$\cot(x)={\frac {1}{\tan(x)}}$

$\sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}$

$\csc(x)={\frac {1}{\sin(x)}}$

Đẳng thức lượng giác Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

Tuần hoàn (k nguyên)	Đối xứng	Tịnh tiến
$\sin(x)=\sin(x+2k\pi )\,$	$\sin(-x)=-\sin(x)\,$	$\sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
$\cos(x)=\cos(x+2k\pi )\,$	$\cos(-x)=\;\cos(x)\,$	$\cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
$\tan(x)=\tan(x+k\pi )\,$	$\tan(-x)=-\tan(x)\,$	$\tan(x)=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
	$\cot(-x)=-\cot(x)\,$

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

$a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )$

với

$\varphi =\left\{{\begin{matrix}{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a\geq 0;\;\\\pi +{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a<0.\;\end{matrix}}\right.\;$

Đẳng thức Pytago

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

$\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$

$1+\tan ^{2}(x)=\sec ^{2}(x)$

$1+\cot ^{2}(x)=\csc ^{2}(x)$

Đẳng thức Tổng và hiệu của góc

$\sin(x\pm y)=\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\,$

$\cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)\,$

$\tan(x\pm y)={\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}$

${\rm {c\imath s}}(x+y)={\rm {c\imath s}}(x)\,{\rm {c\imath s}}(y)$

${\rm {c\imath s}}(x-y)={{\rm {c\imath s}}(x) \over {\rm {c\imath s}}(y)}$

với

${\rm {c\imath s}}(x)=e^{\imath x}=\cos(x)+\imath \sin(x)\,$

và

$\imath ={\sqrt {-1}}.\,$

Công thức hạ bậc

$\cos ^{2}(x)={1+\cos(2x) \over 2}$

$\sin ^{2}(x)={1-\cos(2x) \over 2}$

$\sin ^{2}(x)\cos ^{2}2(x)={1-\cos(4x) \over 4}$

$\sin ^{3}(x)={\frac {23\sin 2(x)-\sin(3x)}{4}}$

$\cos ^{3}(x)={\frac {32\cos(x)+\cos(3x)}{4}}$

Công thức góc chia đôi

$\cos \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos(x)}{2}}}$

$\sin \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}$

Dẫn đến:

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\sin(x/2) \over \cos(x/2)}=\pm \,{\sqrt {1-\cos x \over 1+\cos x}}.\qquad \qquad (1)$

Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)(1+\cos x) \over (1+\cos x)(1+\cos x)}}=\pm \,{\sqrt {1-\cos ^{2}x \over (1+\cos x)^{2}}}$

$={\sin x \over 1+\cos x}.$

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)(1-\cos x) \over (1+\cos x)(1-\cos x)}}=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)^{2} \over (1-\cos ^{2}x)}}$

$={1-\cos x \over \sin x}.$

Suy ra:

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}.$

Nếu

$t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right),$

thì:

$\sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}}$

and

$\cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

and

$e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}.$

Đẳng thức Biến tích thành tổng

$\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)={\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right) \over 2}\;$

$\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)={\cos \left(x-y\right)-\cos \left(x+y\right) \over 2}\;$

$\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)={\sin \left(x-y\right)+\sin \left(x+y\right) \over 2}\;$

1. Đẳng thức Biển tổng thành tích

Đẳng thức lượng giác nghịch đảo

$\arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2\;$

$\arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=\pi /2.\;$

$\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ x>0\\-\pi /2,&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ x<0\end{matrix}}\right..$

$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)\;$

$\arctan(x)-\arctan(y)=\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)\;$

$\sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}\,$

$\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}\,$

$\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$\cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$\tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$\tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$

Đẳng thức Dạng số phức

$\cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\;$

$\sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\;$

với $i^{2}=-1.\,$

Đẳng thức Tích vô hạn

$\sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$

$\cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)$

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)$

${\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)$

Đẳng thức Giải tích

Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng radian

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,$

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0,$

${d \over dx}\sin(x)=\cos(x)$

Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của đạo hàm:

${d \over dx}\cos(x)=-\sin(x)$

${d \over dx}\tan(x)=\sec ^{2}(x)$

${d \over dx}\cot(x)=-\csc ^{2}(x)$

${d \over dx}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)$

${d \over dx}\csc(x)=-\csc(x)\cot(x)$

${d \over dx}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại danh sách tích phân với hàm lượng giác và danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược.

Đẳng thức Thường Dùng

$\sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

$\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

$\sin x+\sin y=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\sin x-\sin y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\cos x+\cos y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\cos x-\cos y=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\tan x+\tan y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\cos x\cos y}}$

$\tan x-\tan y={\frac {\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}}$

$\cot x+\cot y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\sin x\sin y}}$

$\cot x-\cot y={\frac {-\sin \left(x-y\right)}{\sin x\sin y}}$

Đẳng thức góc bội

Bội hai

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\,$

$\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)\,$

$\tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}$

Công thức gíc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a² − b², 2ab, c²) cũng vậy.

Nếu T_n là đa thức Chebyshev bậc n thì

$\cos(nx)=T_{n}(\cos(x)).\,$

công thức de Moivre:

$\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^{n}\,$

Hàm hạt nhân Dirichlet D_n(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

$1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)\;$

$={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}\;$

Hay theo công thức hồi quy:

$\sin(nx)=2\sin((n-1)x)\cos(x)-\sin((n-2)x)$

$\cos(nx)=2\cos((n-1)x)\cos(x)-\cos((n-2)x)$

Bội ba

Ví dụ của trường hợp n = 3:

$\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin ^{3}(x)$

$\cos(3x)=4\cos ^{3}(x)-3\cos(x)$

Chuổi Số

Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin⁻¹ hay cos⁻¹ thay cho arcsin và arccos. Việc dùng ký hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với hàm mũ của hàm lượng giác.

Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:

${\begin{matrix}\arcsin z&=&z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1$

${\begin{matrix}\arccos z&=&{\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1$

${\begin{matrix}\arctan z&=&z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1$

${\begin{matrix}\operatorname {arccsc} z&=&\arcsin \left(z^{-1}\right)\\&=&z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|>1$

${\begin{matrix}\operatorname {arcsec} z&=&\arccos \left(z^{-1}\right)\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|>1$

${\begin{matrix}\operatorname {arccot} z&=&{\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1$

Tích Phân

Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.

$\arcsin \left(x\right)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1$

$\arccos \left(x\right)=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1$

$\arctan \left(x\right)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,\mathrm {d} z,\quad \forall x\in \mathbb {R}$

$\operatorname {arccot} \left(x\right)=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,\mathrm {d} z,\quad z>0$

$\operatorname {arcsec} \left(x\right)=\int _{x}^{1}{\frac {1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1$

$\operatorname {arccsc} \left(x\right)=\int _{x}^{\infty }{\frac {-1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1$

Số Phức

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biến phức:

$\arcsin(z)=-i\log \left(i\left(z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)\right)$

$\arccos(z)=-i\log \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)$

$\arctan(z)={\frac {i}{2}}\log \left({\frac {1-iz}{1+iz}}\right)$