Đại số/Phương trình đại số/Phuong Trình Hàm Số/Giải Phương Trình Bậc Hai

Định Nghĩa

Phương Trình Bậc hai của một Biến số x có dạng tổng quát sau

$ax^{2}+bx+c=0$

Giải Phương Trình

Phương Pháp Một

Chia phương trình bậc hai cho a (điều này được phép do a khác 0), ta có:

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$

nó tương đương với

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}.$

thêm bình phương của ${\frac {b}{2a}}$ vào cả hai vế của phương trình, ta được

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$.

Vế trái bây giờ là một bình phương đúng của x + b/(2a)). Vế phải có thể viết dưới dạng một phân số với mẫu số chung là 4a². Ta thu được

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$.

Lấy căn bậc hai của hai vế, sẽ có

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}$.

Bớt ${\frac {b}{2a}}$ từ cả hai vế, ta có

$x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$

Nghiệm Số của Phương trình bậc hai $ax^{2}+bx+c=0$

$x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$

Phương Pháp Hai

Có thể viết dưới dạng

$x_{1}=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

$x_{2}=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

Với

$\alpha =-{\frac {b}{2a}}$ . $\beta ={\frac {c}{b}}$

Nghiệm Số của Phương trình bậc hai $ax^{2}+bx+c=0$

$x_{1}=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

$x_{1}=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

Phương Pháp Viète

Trong trường hợp phương trình bậc hai, công thức Viète được ghi như sau:

Nếu x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình

$ax^{2}+bx+c=0,\,a\neq 0$

thì

${\begin{cases}{x_{1}x_{2}=c/a}\\{x_{1}+x_{2}=-b/a}\\\end{cases}}$

Phương Trình Bậc Hai đặc biệt

$x^{2}+y^{2}=0$

$x={\sqrt {-y}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {y}}=\pm jy$

$y={\sqrt {-x}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {x}}=\pm jx$

Số Ảo

Vì ${\sqrt {-1}}$ là một số không thực . Nên cần phải có một hệ thống để làm phép toán trên số này . Nếu có một số ảo biểu thị bởi i = ${\sqrt {-1}}$ . Ta có

$i={\sqrt {-1}}$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-i$

$i^{4}=1$123123