Tích phân

Tủ sách mở Wikibooks

Bước tới: chuyển hướng, tìm kiếm

Mục lục

1 Khái Niệm
2 Thể Lọai
- 2.1 tích phân xác định
- 2.2 tích phân bất định
3 Bảng Tích Phân
4 Công Thức Tích Phân

[sửa] Khái Niệm

Tích phân được định nghĩa như diện tích S dưới đường cong y=f(x) với x chạy từ a đến b

Tích phân là một phương pháp toán học tìm diện tích của một hình không theo dạng hình chuẩn trong hình học.

Trong không gian 2 chiều, diện tích các hình không chuẩn được tính gần bằng với diện tích của hình chữ nhật bằng Ngang x Cao

[sửa] Thể Lọai

[sửa] tích phân xác định

Có hai dạng tích phân Riemann, tích phân xác định (có cận trên và cận dưới) và tích phân bất định. Tích phân Riemann xác định của hàm f(x) với x chạy trong khoảng từ a (cận dưới) đến b (cận trên) được viết là:

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx$

[sửa] tích phân bất định

Dạng bất định (không có cận) được viết là:

$\int_{ }^{ } f(x)\, dx$

Theo định luật cơ bản thứ nhất của giải tích, nếu F(x) là tích phân bất định của f(x) thì f(x) là vi phân của F(x). Tích phân xác định được tính từ tích phân bất định như sau:

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)$

Còn đối với tích phân bất định, tồn tại cùng lúc nhiều hàm số sai khác nhau bằng hằng số tích phân C thoả mãn điều kiện cùng có chung vi phân, bởi vì vi phân của hằng số bằng 0:

$\int_{ }^{ } f(x)\, dx = F(x) + C$

Ngày nay biểu thức toán học của tích phân bất định có thể được tính cho nhiều hàm số tự động bằng máy tính. Giá trị số của tích phân xác định có thể được tìm bằng các phương pháp số, ngay cả khi biểu thức toán học của tích phân bất định tương ứng không tồn tại.

Định luật cơ bản thứ nhất của giải tích được thể hiện ở đẳng thức sau:

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(x')\, dx' = f(x)$ và $\frac{d}{dx} \int_{x}^{b} f(x')\, dx' = -f(x)$

Tồn tại những hàm số mà tích phân bất định của chúng không thể biểu diễn bằng các hàm toán học cơ bản. Dưới đây là một vài ví dụ:

$\int_{}^{} e^{-x^2}\, dx$ , $\int_{}^{} \frac{e^{-x}}{x}\, dx$ , $\int_{}^{} \frac{\sin x}{x}\, dx$ , $\int_{}^{} \frac{\cos x}{x}\, dx$

[sửa] Bảng Tích Phân

	Integral	Value	Remarks
1	$\int c \,dx$	$cx+C\,$
2	$\int x^n\,dx$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$	$n \ne -1$
3	$\int \frac{1}{x}\,dx$	$\ln{\left\|x\right\|}+C$
4	$\int {1 \over {a^2+x^2}} \,dx$	${1 \over a}\arctan {x \over a} + C$
5	$\int {1 \over \sqrt{a^2-x^2}} \,dx$	$\arcsin {x \over a} + C$
6	$\int {-1 \over \sqrt{a^2-x^2}} \,dx$	$\arccos {x \over a} + C$
7	$\int {1 \over x\sqrt{x^2-a^2}} \,dx$	${1 \over a}\mbox{arcsec}\,{\|x\| \over a} + C$
8	$\int \ln {x}\,dx$	$x \ln {x} - x + C \,$
9	$\int \log_b {x}\,dx$	$x\log_b {x} - x\log_b {e} + C\,$
10	$\int e^x\,dx$	$e^x + C \,$
11	$\int a^x\,dx$	$\frac{a^x}{\ln{a}} + C$
12	$\int \sin{x}\, dx$	$-\cos{x} + C\,$
13	$\int \cos{x}\, dx$	$\sin{x} + C\,$
14	$\int \tan{x} \, dx$	$-\ln{\left\| \cos {x} \right\|} + C\,$
15	$\int \cot{x} \, dx$	$\ln{\left\| \sin{x} \right\|} + C\,$
16	$\int \sec{x} \, dx$	$\ln{\left\| \sec{x} + \tan{x}\right\|} + C\,$
17	$\int \csc{x} \, dx$	$-\ln{\left\| \csc{x} + \cot{x}\right\|} + C\,$
18	$\int \sec^2 x \, dx$	$\tan x + C\,$
19	$\int \csc^2 x \, dx$	$-\cot x + C\,$
20	$\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx$	$\sec{x} + C\,$
21	$\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx$	$- \csc{x} + C\,$
22	$\int \sin^2 x \, dx$	$\frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C\,$
23	$\int \cos^2 x \, dx$	$\frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C\,$
24	$\int \sin^n x \, dx$	$- \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx$
25	$\int \cos^n x \, dx$	$- \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx$
26	$\int \arctan{x} \, dx$	$x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left\| 1 + x^2\right\|} + C$
27	$\int \sinh x \, dx$	$\cosh x + C\,$
28	$\int \cosh x \, dx$	$\sinh x + C\,$
29	$\int \tanh x \, dx$	$\ln \|\cosh x\| + C\,$
30	$\int \mbox{csch}\,x \, dx$	$\ln\left\| \tanh {x \over2}\right\| + C$
31	$\int \mbox{sech}\,x \, dx$	$\arctan(\sinh x) + C\,$
32	$\int \coth x \, dx$	$\ln\|\sinh x\| + C\,$