Hàm lượng giác

Tủ sách mở Wikibooks

Mục lục

1 Khái Niệm
2 Các hàm lượng giác cơ bản
3 Tương quan giửa các hàm lượng giác cơ bản
4 Các Cách Định Nghỉa Khác
5 Trên trường số phức

[sửa] Khái Niệm

Hàm lượng giác là các hàm toán học của góc, được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất tuần hoàn.

Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị. Chúng cũng được biểu diễn bằng các chuỗi vô tận hoặc là nghiệm của một số phương trình vi phân, và có thể được mở rộng để nhận giá trị âm hoặc phức.

[sửa] Các hàm lượng giác cơ bản

Dùng vòng tròn một đơn vi có bán kín bằng một

Có tất cả 6 hàm lượng giác cơ bản được định nghỉa như sau

[sửa] sin θ

sin θ = Y

[sửa] cos θ

cos θ = X

[sửa] sec θ

sec θ = 1 / X

[sửa] cosec θ

sec θ = 1 / Y

[sửa] tan θ

tan θ = Y / X = 1 / cotan θ

[sửa] cotan θ

tan θ = X / Y = 1 / tan θ

[sửa] Tương quan giửa các hàm lượng giác cơ bản

Ngày nay, chúng ta thường làm việc với sáu hàm lượng giác cơ bản, được liệt kê trong bảng dưới, kèm theo liên hệ toán học giữa các hàm.

Hàm	Viết tắt	Liên hệ
Sin	sin	$\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,$
Cos	cos	$\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)\,$
Tang	tan	$\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,$
Cotang	cot	$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,$
Sec	sec	$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,$
Cosec	csc (hay cosec)	$\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta} = \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,$

Trong lịch sử, một số hàm lượng giác khác đã được nhắc đến, nhưng nay ít dùng là:

versed sine (versin = 1 − cos)
exsecant (exsec = sec − 1).

Xem thêm bài đẳng thức lượng giác để biết thêm rất nhiều liên hệ khác nữa giữa các hàm lượng giác.

[sửa] Các Cách Định Nghỉa Khác

[sửa] Trên trường số phức

Từ định nghĩa bằng chuỗi, có thể chứng minh rằng các hàm sin và cos là phần ảo và phần thực của hàm mũ của số ảo:

$e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta \,.$

Với i là đơn vị ảo, căn bậc hai của -1.

Liên hệ này được phát hiện lần đầu bởi Euler và công thức này đã được gọi là công thức Euler. Trong giải tích phức, nếu vẽ vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng phức, gồm các điểm z = e^ix, các mối liên hệ giữa số phức và lượng giác trở nên rõ ràng. Ví dụ như các quá trình miêu tả bởi hàm mũ phức có tính chất tuần hoàn.

Công thức trên cũng cho phép mở rộng hàm lượng giác ra cho biến phức z:

$\sin z \, = \, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \, = \, {e^{\imath z} - e^{-\imath z} \over 2\imath} = -\imath \sinh \left( \imath z\right)$

$\cos z \, = \, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} \, = \, {e^{\imath z} + e^{-\imath z} \over 2} = \cosh \left(\imath z\right)$

Trong trường hợp đặc biệt, z = x, một số thực

$\cos x \, = \, \mbox{Re } (e^{\imath x})$

$\sin x \, = \, \mbox{Im } (e^{\imath x})$